Calcule
\int \frac{x^{2}+2 x+3}{(x-1)\left(x^{2}+1\right)} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}+2x+3}{(x-1)\left(x^{2}+1\right)}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O integrando é uma função racional, isto é, razão de polinômios.
  • O denominador já está fatorado como (x-1) e (x^{2}+1).
  • O grau do numerador ( 2) é menor que o grau do denominador ( 3), portanto a fração é própria e podemos aplicar decomposição em frações parciais sem precisar fazer divisão polinomial.
  • O objetivo é encontrar uma antiderivada (a primitiva) dessa função.

Passo 2

Ideia de resolução (sem resolver ainda): usar decomposição em frações parciais. Para uma fração com denominador (x-1)(x^{2}+1) a forma geral da decomposição é
\frac{x^{2}+2x+3}{(x-1)(x^{2}+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1},
onde A,B,C são constantes a determinar. Explico por que essa forma:
  • Para o fator linear (x-1) usamos uma constante A no numerador.
  • Para o fator quadrático irreduzível (x^{2}+1) usamos um numerador linear Bx+C (sempre que o fator é quadrático irreduzível, colocamos um polinômio de grau um menor, isto é, grau 1).

Passo 3

Eliminar denominadores multiplicando ambos os lados por (x-1)(x^{2}+1). Isso dá a identidade polinomial
x^{2}+2x+3 = A(x^{2}+1)+(Bx+C)(x-1).
Agora vamos expandir o lado direito para agrupar termos por potências de x.

Passo 4

Expandindo (Bx+C)(x-1):
(Bx+C)(x-1)=Bx^{2}-Bx+Cx-C.
Somando com A(x^{2}+1) obtemos
A(x^{2}+1)+(Bx+C)(x-1)=(A+B)x^{2}+(-B+C)x+(A-C).
Como isso deve ser igual a x^{2}+2x+3 para todo x, igualamos coeficientes de cada potência de x:
  • Coeficiente de x^{2}: A+B=1.
  • Coeficiente de x: -B+C=2.
  • Termo constante: A-C=3.

Passo 5

Resolver o sistema
\begin{cases} A+B=1,\\[4pt] -B+C=2,\\[4pt] A-C=3. \end{cases}
Da terceira equação temos C=A-3. Substituindo na segunda:
-B+(A-3)=2 \quad\Rightarrow\quad -B+A=5 \quad\Rightarrow\quad B=A-5.
Substituindo B=A-5 na primeira:
A+(A-5)=1 \quad\Rightarrow\quad 2A-5=1 \quad\Rightarrow\quad 2A=6 \quad\Rightarrow\quad A=3.
Então B=3-5=-2 e C=A-3=3-3=0.]

Passo 6

Com os coeficientes encontrados, a decomposição fica
\frac{x^{2}+2x+3}{(x-1)(x^{2}+1)}=\frac{3}{x-1}+\frac{-2x+0}{x^{2}+1}=\frac{3}{x-1}-\frac{2x}{x^{2}+1}.
Agora integramos termo a termo:
\int \frac{3}{x-1}\,dx - \int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 7

Integrar cada termo explicando as fórmulas usadas:
  • Regra do logaritmo: para qualquer constante a,
\int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C.
Aplicando com fator 3:
\int \frac{3}{x-1}\,dx=3\ln|x-1|.
  • Substituição simples para a segunda integral: tome u=x^{2}+1. Então du=2x\,dx. Assim
\int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx=\int \frac{du}{u}=\ln u + C=\ln(x^{2}+1)+C.
Note que nosso integrando é -\dfrac{2x}{x^{2}+1}, logo
- \int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx = -\ln(x^{2}+1).
Observação sobre valor absoluto: x^{2}+1>0 para todo x, então não é necessário escrever barras de valor absoluto dentro do logaritmo desse termo.

Passo 8

Somando os resultados das duas integrais obtemos a antiderivada
3\ln|x-1|-\ln(x^{2}+1)+C,
onde C é a constante de integração. Opcionalmente pode-se combinar os logaritmos:
\ln\!\left(\frac{(x-1)^{3}}{x^{2}+1}\right)+C,
o que é a mesma família de primitivas.

Resposta

3\ln|x-1|-\ln(x^{2}+1)+C

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