O integrando é uma função racional, isto é, razão de polinômios.
O denominador já está fatorado como (x-1) e (x^{2}+1).
O grau do numerador (2) é menor que o grau do denominador (3), portanto a fração é própria e podemos aplicar decomposição em frações parciais sem precisar fazer divisão polinomial.
O objetivo é encontrar uma antiderivada (a primitiva) dessa função.
Passo 2
Ideia de resolução (sem resolver ainda): usar decomposição em frações parciais. Para uma fração com denominador (x-1)(x^{2}+1) a forma geral da decomposição é
onde A,B,C são constantes a determinar. Explico por que essa forma:
Para o fator linear (x-1) usamos uma constante A no numerador.
Para o fator quadrático irreduzível (x^{2}+1) usamos um numerador linear Bx+C (sempre que o fator é quadrático irreduzível, colocamos um polinômio de grau um menor, isto é, grau 1).
Passo 3
Eliminar denominadores multiplicando ambos os lados por (x-1)(x^{2}+1). Isso dá a identidade polinomial
x^{2}+2x+3 = A(x^{2}+1)+(Bx+C)(x-1).
Agora vamos expandir o lado direito para agrupar termos por potências de x.
Passo 4
Expandindo (Bx+C)(x-1):
(Bx+C)(x-1)=Bx^{2}-Bx+Cx-C.
Somando com A(x^{2}+1) obtemos
A(x^{2}+1)+(Bx+C)(x-1)=(A+B)x^{2}+(-B+C)x+(A-C).
Como isso deve ser igual a x^{2}+2x+3 para todo x, igualamos coeficientes de cada potência de x: