Calcule
\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}.
Informações dadas e objetivo:
  • Integração no intervalo [0,\infty).
  • A função integranda é \dfrac{1}{(x^{2}+1)^{2}}.
  • Objetivo: encontrar o valor numérico exato da integral.

Passo 2

Escolher uma substituição conveniente. Uma observação útil: a expressão x^{2}+1 lembra a identidade trigonométrica 1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta. Isso sugere a substituição
x=\tan\theta,
porque assim x^{2}+1=\operatorname{sec}^{2}\theta, o que simplifica bastante a integranda. Agora vamos transformar diferencial e limites.

Passo 3

Calcular diferencial e limites sob a substituição x=\tan\theta.
  • Derivando, obtemos
dx=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
  • Limites: quando x=0 temos \theta=0; quando x\to\infty temos \theta\to\frac{\pi}{2} (pela definição da tangente). Portanto o intervalo em \theta é \left[0,\frac{\pi}{2}\right).

Passo 4

Fazer a mudança de variável na integral. Substituindo x=\tan\theta e dx=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta e usando x^{2}+1=\operatorname{sec}^{2}\theta, a integranda fica
\frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{\operatorname{sec}^{4}\theta}=\cos^{2}\theta\,d\theta.
Portanto a integral original transforma-se em
\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 5

Integrar \cos^{2}\theta. Usamos a identidades trigonométrica de redução:
\cos 2\theta=2\cos^{2}\theta-1\quad\Rightarrow\quad \cos^{2}\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}.
Substituindo na integral:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}\theta\,d\theta=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}1\,d\theta+\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos 2\theta\,d\theta.

Passo 6

Calcular as duas integrais separadas.
  • Primeira integral:
\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}1\,d\theta=\frac{1}{2}\left[\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}.
  • Segunda integral:
\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos 2\theta\,d\theta=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\sin 2\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{4}\bigl(\sin \pi-\sin 0\bigr)=\frac{1}{4}(0-0)=0.
Somando as duas contribuições obtemos \dfrac{\pi}{4}+0=\dfrac{\pi}{4}.

Passo 7

Conclusão final do cálculo: a integral vale \dfrac{\pi}{4}. Boa! Esse é um resultado clássico — a substituição trigonométrica x=\tan\theta costuma resolver integrais com x^{2}+1 de forma muito elegante.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}

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