Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral imprópria
Informações dadas e objetivo:
- Integração no intervalo
. - A função integranda é
. - Objetivo: encontrar o valor numérico exato da integral.
Passo 2
Escolher uma substituição conveniente. Uma observação útil: a expressão
lembra a identidade trigonométrica
. Isso sugere a substituição
porque assim
, o que simplifica bastante a integranda. Agora vamos transformar diferencial e limites.
Passo 3
Calcular diferencial e limites sob a substituição
.
- Derivando, obtemos
- Limites: quando
temos ; quando temos (pela definição da tangente). Portanto o intervalo em é .
Passo 4
Fazer a mudança de variável na integral. Substituindo
e
e usando
, a integranda fica
Portanto a integral original transforma-se em
Passo 5
Integrar
. Usamos a identidades trigonométrica de redução:
Substituindo na integral:
Passo 6
Calcular as duas integrais separadas.
- Primeira integral:
- Segunda integral:
Somando as duas contribuições obtemos
.
Passo 7
Conclusão final do cálculo: a integral vale
. Boa! Esse é um resultado clássico — a substituição trigonométrica
costuma resolver integrais com
de forma muito elegante.