Questão 2. Seja R a região do espaço ( x, y, z ) limitada superiormente pela esfera de centro na origem e raio r=2, para z>0, e inferiormente pelo plano z=0. Seja S a superfície fechada que “engloba” (limita) R (sua fronteira), orientada para fora.
(1.5pt) Obtenha o fluxo do campo vetorial radial \vec{G}=e^{-r} \vec{r} através da superfície S.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \r
\vec{G}=e^{-r}\,\vec{r} \r
através da superfície fechada S que limita a região R definida por \r
\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le 4,\;z\ge0\}. \r
O conteúdo principal é o Teorema da Divergência (Gauss), que nos permite transformar o fluxo de \vec{G} através de S num integral de volume de \nabla\cdot\vec{G} sobre R.

Passo 2

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo é \r
\Phi=\iint_{S}\vec{G}\cdot\hat{n}\,dS \;=\;\iiint_{R}\nabla\cdot\vec{G}\,dV. \r
Vamos primeiro calcular a divergência de \r
\vec{G}=e^{-r}(x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}).

Passo 3

Cada termo é do tipo \partial/\partial x\bigl(xe^{-r}\bigr), etc. Calcula-se\r
\nabla\cdot\vec{G}\r =\frac{\partial}{\partial x}(xe^{-r})\r +\frac{\partial}{\partial y}(ye^{-r})\r +\frac{\partial}{\partial z}(ze^{-r})\r =e^{-r}\Bigl(3-\frac{x^2+y^2+z^2}{r}\Bigr)\r =e^{-r}(3-r).

Passo 4

Em coordenadas esféricas ( r,\theta,\varphi), com \theta medido desde o eixo z,\r
dV=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi, \quad 0\le r\le2,\;0\le\theta\le\tfrac\pi2,\;0\le\varphi\le2\pi.
Então\r
\Phi =\iiint_{R}e^{-r}(3-r)\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{2} e^{-r}(3-r)\,r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 5

Separamos o angular e o radial. \r
Angular: \r
\displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi e \r
\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta=1. \r
Logo \r
\Phi=2\pi\int_{0}^{2}e^{-r}(3-r)\,r^2\,dr.

Passo 6

Defina
\displaystyle I=\int_{0}^{2}e^{-r}(3-r)\,r^2\,dr =\int_0^2(3r^2-r^3)e^{-r}\,dr.
Usando a fórmula
\displaystyle\int_0^2 r^n e^{-r}dr =n!\Bigl(1-e^{-2}\sum_{k=0}^n\frac{2^k}{k!}\Bigr),
temos \r
\int_0^2r^2e^{-r}dr =2\Bigl(1-e^{-2}(1+2+2)\Bigr) =2-10e^{-2},
\int_0^2r^3e^{-r}dr =6\Bigl(1-e^{-2}\bigl(1+2+2+\tfrac43\bigr)\Bigr) =6-38e^{-2}.
Então\r
I=3(2-10e^{-2})-(6-38e^{-2}) =8e^{-2}.

Passo 7

Portanto o fluxo fica\r
\Phi =2\pi\cdot I =2\pi\cdot 8e^{-2} =16\pi e^{-2}.

Resposta

16\pi e^{-2}

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