Questão 2. Seja
a região do espaço (
) limitada superiormente pela esfera de centro na origem e raio
, para
, e inferiormente pelo plano
. Seja
a superfície fechada que “engloba” (limita)
(sua fronteira), orientada para fora.
(1.5pt) Obtenha o fluxo do campo vetorial radial
através da superfície
.
(1.5pt) Obtenha o fluxo do campo vetorial radial
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de \r
\r
através da superfície fechada que limita a região
definida por \r
. \r
O conteúdo principal é o Teorema da Divergência (Gauss), que nos permite transformar o fluxo de através de
num integral de volume de
sobre
.
através da superfície fechada
O conteúdo principal é o Teorema da Divergência (Gauss), que nos permite transformar o fluxo de
Passo 2
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo é \r
Vamos primeiro calcular a divergência de \r
.
Passo 3
Cada termo é do tipo
, etc. Calcula-se\r
Passo 4
Em coordenadas esféricas (
), com
medido desde o eixo
,\r
Então\r
Passo 5
Separamos o angular e o radial. \r
Angular: \r
e \r
. \r
Logo \r
Angular: \r
Logo \r
Passo 6
Defina
Usando a fórmula
,
temos \r
Usando a fórmula
temos \r
Então\r
Passo 7
Portanto o fluxo fica\r