Encontre a área da região limitada por y=4 x \sqrt{4-x^{2}}, x=0, x=2 e y=0.
Dica 1: use a substituição x=2 \operatorname{sen} \theta ou u=4-x^{2}.
Dica 2: Se pertinente, revise/leia a Seção 6.1 do Stewart (Área entre curvas), as suas notas de Cálculo 1 sobre substituição, a Seção 5.5 (Regra de substituição) do Stewart, e as notas e vídeo-aulas sobre “integração por substituição” do Prof. Wagner ou do Prof. Pedrosa (disponíveis no Moodle).
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 . e portanto escreva
0.0166666 para representar " 5 / 300 "
ou 13.07976 para representar 2 \ln (10)+3 \pi\left(9-e^{2}\right)-3 \sqrt{5}=13.0797548283 \ldots (que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) " 2^{*} In(10) +3^{*} pi*(9-exp(2))- 3^{*} sqrt(5)" diretamente no Google por exemplo)
Entre aqui o valor da integral \square
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada por y=4x\sqrt{4-x^{2}}, x=0, x=2 e y=0. Como é a área entre a curva e o eixo x, vamos usar uma integral definida de x=0 até x=2 e empregar uma substituição para facilitar o cálculo.
Passo 2
Escrevemos a área A como
A = \int_{0}^{2}4x\sqrt{4-x^{2}}\;dx.
Para resolver essa integral, adotamos a substituição
u = 4 - x^{2}, \quad du = -2x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = -\tfrac{1}{2}\,du.
Passo 3
Quando x=0, u=4; quando x=2, u=0. Substituindo na integral: