Encontre a área da região limitada por y=4 x \sqrt{4-x^{2}}, x=0, x=2 e y=0.
Dica 1: use a substituição x=2 \operatorname{sen} \theta ou u=4-x^{2}.
Dica 2: Se pertinente, revise/leia a Seção 6.1 do Stewart (Área entre curvas), as suas notas de Cálculo 1 sobre substituição, a Seção 5.5 (Regra de substituição) do Stewart, e as notas e vídeo-aulas sobre “integração por substituição” do Prof. Wagner ou do Prof. Pedrosa (disponíveis no Moodle).
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 . e portanto escreva
  • 0.0166666 para representar " 5 / 300 "
  • ou 13.07976 para representar 2 \ln (10)+3 \pi\left(9-e^{2}\right)-3 \sqrt{5}=13.0797548283 \ldots (que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) " 2^{*} In(10) +3^{*} pi*(9-exp(2))- 3^{*} sqrt(5)" diretamente no Google por exemplo)
Entre aqui o valor da integral \square

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada por y=4x\sqrt{4-x^{2}}, x=0, x=2 e y=0. Como é a área entre a curva e o eixo x, vamos usar uma integral definida de x=0 até x=2 e empregar uma substituição para facilitar o cálculo.

Passo 2

Escrevemos a área A como
A = \int_{0}^{2}4x\sqrt{4-x^{2}}\;dx.
Para resolver essa integral, adotamos a substituição
u = 4 - x^{2}, \quad du = -2x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = -\tfrac{1}{2}\,du.

Passo 3

Quando x=0, u=4; quando x=2, u=0. Substituindo na integral:
\int_{0}^{2}4x\sqrt{4-x^{2}}\,dx = \int_{u=4}^{0}4\sqrt{u}\,\bigl(-\tfrac{1}{2}du\bigr) = \int_{4}^{0}-2\,u^{1/2}du = \int_{0}^{4}2\,u^{1/2}du.
Agora integramos:
\int_{0}^{4}2\,u^{1/2}du = 2\cdot\frac{u^{3/2}}{\tfrac{3}{2}}\Bigg|_{0}^{4} = \frac{4}{3}\,u^{3/2}\Big|_{0}^{4}.

Passo 4

Calculamos 4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8. Assim,
A = \frac{4}{3}\times8 = \frac{32}{3}\approx10.6666667.

Resposta

10.6666667

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