Calcule:
\int \frac{11 x^{2}-20 x+6}{\left(x^{2}-6 x+10\right)\left(x^{2}+1\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{11x^{2}-20x+6}{\bigl(x^{2}-6x+10\bigr)\bigl(x^{2}+1\bigr)}\,dx.
Este é um caso típico de integração de função racional em que o denominador se decompõe em dois quadráticos irreduzíveis. Vamos usar o método de frações parciais e, depois, integrais básicas de forma
\displaystyle\int \frac{u'}{u}\,dx e \displaystyle\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}.

Passo 2

Proponho a decomposição em frações parciais:
\frac{11x^{2}-20x+6}{(x^{2}-6x+10)(x^{2}+1)} =\frac{Ax+B}{x^{2}-6x+10}+\frac{Cx+D}{x^{2}+1}.
Multiplicando em ambos os lados por (x^{2}-6x+10)(x^{2}+1), obtemos a identidade
11x^{2}-20x+6 =(Ax+B)(x^{2}+1)+(Cx+D)(x^{2}-6x+10).

Passo 3

Expandindo os produtos:
(Ax+B)(x^{2}+1)=A x^3+B x^2+Ax+B,
(Cx+D)(x^{2}-6x+10)=C x^3+(D-6C)x^2+(10C-6D)x+10D.
Somando,
(A+C)x^3+\bigl(B+D-6C\bigr)x^2+\bigl(A+10C-6D\bigr)x+(B+10D) =11x^2-20x+6.
Igualando coeficientes de x^3,x^2,x,1, vem o sistema:
\begin{cases} A+C=0,\\\ B+D-6C=11,\\\ A+10C-6D=-20,\\\ B+10D=6. \end{cases}

Passo 4

Da primeira equação C=-A. Substituindo nas demais e resolvendo em A,B,D, obtemos
A=\frac{70}{39},\quad B=-\frac{16}{39},\quad C=-\frac{70}{39},\quad D=\frac{25}{39}.
Logo
\frac{11x^{2}-20x+6}{(x^{2}-6x+10)(x^{2}+1)} =\frac{\tfrac{70}{39}x-\tfrac{16}{39}}{x^{2}-6x+10} +\frac{-\tfrac{70}{39}x+\tfrac{25}{39}}{x^{2}+1}.

Passo 5

Reescrevendo a integral e separando as parcelas:
\int \frac{11x^{2}-20x+6}{(x^{2}-6x+10)(x^{2}+1)}\,dx =\frac{1}{39}\int\frac{70x-16}{x^{2}-6x+10}\,dx +\frac{1}{39}\int\frac{-70x+25}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 6

Para a primeira integral, complete o quadrado em x^{2}-6x+10=(x-3)^2+1 usando u=x-3:
\int\frac{70x-16}{x^{2}-6x+10}\,dx =\int\frac{70(u+3)-16}{u^{2}+1}\,du =\int\frac{70u+194}{u^{2}+1}\,du =35\ln(u^{2}+1)+194\arctan(u).
Voltando a x:
=35\ln\bigl((x-3)^2+1\bigr)+194\arctan(x-3).
Para a segunda:
\int\frac{-70x+25}{x^{2}+1}\,dx =-70\int\frac{x}{x^{2}+1}\,dx +25\int\frac{dx}{x^{2}+1} =-35\ln(x^{2}+1)+25\arctan(x).

Passo 7

Juntando tudo e multiplicando por \tfrac{1}{39}, a primitiva fica
\frac{35}{39}\ln\bigl((x-3)^2+1\bigr) -\frac{35}{39}\ln(x^{2}+1) +\frac{194}{39}\arctan(x-3) +\frac{25}{39}\arctan(x) +C.

Resposta

\int \frac{11x^{2}-20x+6}{(x^{2}-6x+10)(x^{2}+1)}\,dx =\frac{35}{39}\ln\frac{(x-3)^2+1}{x^{2}+1} +\frac{194}{39}\arctan(x-3) +\frac{25}{39}\arctan(x) +C.

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