Simplifique a expressão: (valor: 1,0 pto)
\frac{x^{3}+3 x^{2}-49 x+45}{(x+9)(x-5)}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão racional
\frac{x^{3}+3x^{2}-49x+45}{(x+9)(x-5)}.
O conteúdo principal aqui é fatoração de polinômios e cancelamento de fatores comuns.

Passo 2

Defina o numerador como
f(x)=x^{3}+3x^{2}-49x+45.
Pelo Teorema do Resto, se f(a)=0 então (x-a) é fator de f(x). Vamos testar a=5:
f(5)=5^{3}+3\cdot5^{2}-49\cdot5+45=125+75-245+45=0.
Logo, (x-5) é um fator de f(x).

Passo 3

Agora fazemos a divisão de f(x) por (x-5) (Ruffini). Os coeficientes de f(x) são 1,\,3,\,-49,\,45.
Aplicando sinteticamente 5:
\begin{array}{r|rrrr} 5 & 1 & 3 & -49 & 45\\\ & & 5 & 40 & -45\\hline & 1 & 8 & -9 & 0 \end{array}
O resto é zero e o quociente é x^{2}+8x-9.

Passo 4

Fatora-se o polinômio quadrático:
x^{2}+8x-9=(x+9)(x-1).
Portanto
f(x)=(x-5)\,(x+9)\,(x-1).

Passo 5

Substituindo em
\frac{f(x)}{(x+9)(x-5)} =\frac{(x-5)(x+9)(x-1)}{(x+9)(x-5)},
podemos cancelar (x+9) e (x-5), desde que x\neq -9 e x\neq 5.

Resposta

x-1,\quad x\neq -9,\;x\neq 5.

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