Determine uma funçåo
sabendo que
e, além disso,
, sendo C constante real.
Passo 1
O enunciado pede para determinar uma função
tal que
e que satisfaz
O conteúdo envolvido é diferencial e integração de função composta; vamos diferenciar a relação dada para encontrar
e depois integrar para obter
.
Passo 2
Derivando em relação a
ambos os lados da igualdade
obtemos pelo Teorema Fundamental do Cálculo
Passo 3
Isolando
, temos
Passo 4
Para encontrar
, integramos
. Chamando
a constante de integração,
Passo 5
Complete o quadrado em
:
Faça a mudança de variável
, de modo que
. Então
e a integral fica
Passo 6
Separe a integral em duas partes:
Sabemos que
Logo a integral total é
Passo 7
Voltando a
(i.e.\
), obtemos
Como
, podemos escrever
Passo 8
Use a condição
. Quando
,
Impondo
dá