Determine uma funçåo f sabendo que f(0)=5 \ln (5) e, além disso, \int \sqrt{x^{2}+4 x+9} f^{\prime}(x) d x=\frac{x^{2}}{2}+7 x+C, sendo C constante real.

Passo 1

O enunciado pede para determinar uma função f tal que f(0)=5\ln(5) e que satisfaz
\int \sqrt{x^{2}+4x+9}\,f'(x)\,dx = \frac{x^{2}}{2} + 7x + C.
O conteúdo envolvido é diferencial e integração de função composta; vamos diferenciar a relação dada para encontrar f'(x) e depois integrar para obter f(x).

Passo 2

Derivando em relação a x ambos os lados da igualdade
\int \sqrt{x^{2}+4x+9}\,f'(x)\,dx = \frac{x^{2}}{2} + 7x + C,
obtemos pelo Teorema Fundamental do Cálculo
\sqrt{x^{2}+4x+9}\,f'(x) = \frac{d}{dx}\!\Bigl(\tfrac{x^{2}}{2} + 7x + C\Bigr) = x + 7.

Passo 3

Isolando f'(x), temos
f'(x) = \frac{x+7}{\sqrt{x^{2}+4x+9}}.

Passo 4

Para encontrar f(x), integramos f'(x). Chamando K a constante de integração,
f(x) = \int \frac{x+7}{\sqrt{x^{2}+4x+9}}\,dx + K.

Passo 5

Complete o quadrado em x^{2}+4x+9:
x^{2}+4x+9 = (x+2)^{2} + 5.
Faça a mudança de variável t = x+2, de modo que x = t-2. Então
x+7 = (t-2)+7 = t+5,\quad \sqrt{x^{2}+4x+9} = \sqrt{t^{2}+5},
e a integral fica
\int \frac{t+5}{\sqrt{t^{2}+5}}\,dt.

Passo 6

Separe a integral em duas partes:
\int \frac{t+5}{\sqrt{t^{2}+5}}\,dt = \int \frac{t}{\sqrt{t^{2}+5}}\,dt + 5\int \frac{1}{\sqrt{t^{2}+5}}\,dt.
Sabemos que
\int \frac{t}{\sqrt{t^{2}+5}}\,dt = \sqrt{t^{2}+5}, \qquad \int \frac{1}{\sqrt{t^{2}+5}}\,dt = \ln\bigl(t + \sqrt{t^{2}+5}\bigr).
Logo a integral total é
\sqrt{t^{2}+5} \;+\; 5\,\ln\bigl(t + \sqrt{t^{2}+5}\bigr).

Passo 7

Voltando a x (i.e.\ t = x+2), obtemos
f(x) = \sqrt{(x+2)^{2}+5} \; + \; 5\,\ln\!\bigl(x+2 + \sqrt{(x+2)^{2}+5}\bigr)\; + \; K.
Como \sqrt{(x+2)^{2}+5} = \sqrt{x^{2}+4x+9}, podemos escrever
f(x) = \sqrt{x^{2}+4x+9} \; + \; 5\,\ln\!\bigl(x+2 + \sqrt{x^{2}+4x+9}\bigr)\; + \; K.

Passo 8

Use a condição f(0)=5\ln(5). Quando x=0,
f(0) = \sqrt{0^{2}+0+9} +\;5\,\ln\!\bigl(2 + \sqrt{9}\bigr) + K = 3 + 5\,\ln(5) + K.
Impondo f(0)=5\ln(5)
3 + 5\ln(5) + K = 5\ln(5) \quad\Longrightarrow\quad K = -3.

Resposta

\boxed{% f(x) = \sqrt{x^{2}+4x+9} \;+\;5\,\ln\!\bigl(x+2 + \sqrt{x^{2}+4x+9}\bigr)\;-\;3. }

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