Find an equation for the surface consisting of all points P for which the distance from P to the x-axis is twice the distance from P to the y z-plane. Identify the surface.

Passo 1

O enunciado pede a reunião de todos os pontos P=(x,y,z) tais que a distância de P ao eixo x seja o dobro da distância de P ao plano yz. Vamos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta e a fórmula da distância de um ponto a um plano para montar a equação.

Passo 2

A distância de P ao eixo x (reta dada por y=0,\;z=0) é
d_{\text{eixo }x} = \sqrt{(y-0)^2 + (z-0)^2} = \sqrt{y^2 + z^2}.
A distância de P ao plano yz (plano dado por x=0) é
d_{yz} = \lvert x\rvert.

Passo 3

Impondo que d_{\text{eixo }x} = 2\,d_{yz} temos
\sqrt{y^2 + z^2} = 2\,\lvert x\rvert.
Elevando ao quadrado para eliminar a raiz e o valor absoluto, obtemos
y^2 + z^2 = 4\,x^2.

Passo 4

A equação
y^2 + z^2 = 4x^2
descreve um cone duplo (duas napas) de revolução, com vértice na origem e eixo ao longo do eixo x.

Resposta

A equação do conjunto é
y^2 + z^2 = 4x^2,
e o sólido é um cone circular reto (duplo) de vértice na origem e eixo paralelo ao eixo x.

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