Calcule:
\int \frac{11 x^{2}-2 a x+6}{\left(x^{2}-6 x+13\right)\left(x^{2}+1\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{11x^{2} - 2a x + 6}{\bigl(x^{2} - 6x + 13\bigr)\bigl(x^{2} + 1\bigr)}\,dx
O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais de uma função racional e depois integração de termos do tipo \frac{Ax+B}{(x-\alpha)^{2}+\beta^{2}} e \frac{Cx+D}{x^{2}+1}.

Passo 2

Fazemos a decomposição
\frac{11x^{2} - 2a x + 6}{(x^{2}-6x+13)(x^{2}+1)} =\frac{Ax+B}{x^{2}-6x+13}+\frac{Cx+D}{x^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por (x^{2}-6x+13)(x^{2}+1) obtemos a identidade de polinômios
11x^{2}-2ax+6 =(Ax+B)(x^{2}+1)+(Cx+D)(x^{2}-6x+13).

Passo 3

Expandindo e igualando coeficientes em potências de x\), chegamos ao sistema \[\begin{cases} A + C = 0,\\\ B + D -6C = 11,\\\ A +13C -6D = -2a,\\\ B +13D = 6. \end{cases}
Dessa forma C=-A\] e, resolvendo em função de \(a, resulta
A = \frac{4a+5}{30},\quad B = \frac{155-13a}{15},\quad C = -\frac{4a+5}{30},\quad D = \frac{a-5}{15}.

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
\int\frac{Ax+B}{x^{2}-6x+13}\,dx +\int\frac{Cx+D}{x^{2}+1}\,dx.
Para a primeira integral, escrevemos x^{2}-6x+13=(x-3)^{2}+2^{2} e fazemos u=x-3:
\int\frac{Ax+B}{(x-3)^{2}+4}\,dx =\int\frac{A(u+3)+B}{u^{2}+4}\,du =\frac{A}{2}\ln\bigl(u^{2}+4\bigr) +\frac{3A+B}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{2}\bigr).
Para a segunda,
\int\frac{Cx+D}{x^{2}+1}\,dx =\frac{C}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+D\arctan(x).

Passo 5

Voltando a u=x-3 e substituindo A,B,C,D, a primitiva fica
\frac{4a+5}{60}\ln\bigl((x-3)^{2}+4\bigr) +\frac{325-14a}{60}\arctan\!\bigl(\tfrac{x-3}{2}\bigr) -\frac{4a+5}{60}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) +\frac{a-5}{15}\arctan(x) +\!C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{11x^{2}-2ax+6}{(x^{2}-6x+13)(x^{2}+1)}\,dx =\frac{4a+5}{60}\ln\frac{(x-3)^{2}+4}{x^{2}+1} +\frac{325-14a}{60}\arctan\!\bigl(\tfrac{x-3}{2}\bigr) +\frac{a-5}{15}\arctan(x)+C. }

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