Considere as curvas y=x^{2}-4 e y=-x^{2}+4.
(a) Esboce a região do plano limitada pelas curvas.
(b) Calcule a área de tal região.
Passo 1
O enunciado dá as duas parábolas \;y = x^{2} - 4) e \;y = -\,x^{2} + 4) e pede (a) o esboço da região comum a elas e (b) a área dessa região. O conteúdo usado será o conceito de área entre curvas, que se obtém pela integral da diferença entre a função superior e a inferior ao longo do intervalo de interseção.
Passo 2
Para esboçar a região, primeiro encontramos onde as parábolas se cruzam, resolvendo
Substituindo em y = x^{2}-4 dá y = 0. Logo, os pontos de interseção são (-2,0) e (2,0). A parábola y = -x^{2} + 4 fica sempre acima de y = x^{2}-4 nesse intervalo, formando uma “lentilha” simétrica em torno do eixo y entre x=-2 e x=2.
Passo 3
A área A entre as curvas de x=-2 a x=2 é
A = \int_{-2}^{2}\bigl[\underbrace{(-\,x^{2}+4)}_{\text{sup}} \;-\;\underbrace{(x^{2}-4)}_{\text{inf}}\bigr]dx =\int_{-2}^{2}(-2\,x^{2}+8)\,dx.
Passo 4
Calculemos a integral. Uma antiderivada de -2x^{2}+8 é
(a) A região é o “lens” entre as duas parábolas, no intervalo x\in[-2,2], com vértices em (0,4) e (0,-4) e interseções em (-2,0) e (2,0).
(b) A área vale \displaystyle \frac{64}{3}.