Considere as curvas y=x^{2}-4 e y=-x^{2}+4.
(a) Esboce a região do plano limitada pelas curvas.
(b) Calcule a área de tal região.

Passo 1

O enunciado dá as duas parábolas \;y = x^{2} - 4) e \;y = -\,x^{2} + 4) e pede (a) o esboço da região comum a elas e (b) a área dessa região. O conteúdo usado será o conceito de área entre curvas, que se obtém pela integral da diferença entre a função superior e a inferior ao longo do intervalo de interseção.

Passo 2

Para esboçar a região, primeiro encontramos onde as parábolas se cruzam, resolvendo
x^{2} - 4 \;=\;-\,x^{2} + 4.
Isso leva a
2\,x^{2} = 8 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 2.
Substituindo em y = x^{2}-4 y = 0. Logo, os pontos de interseção são (-2,0) e (2,0). A parábola y = -x^{2} + 4 fica sempre acima de y = x^{2}-4 nesse intervalo, formando uma “lentilha” simétrica em torno do eixo y entre x=-2 e x=2.

Passo 3

A área A entre as curvas de x=-2 a x=2 é
A = \int_{-2}^{2}\bigl[\underbrace{(-\,x^{2}+4)}_{\text{sup}} \;-\;\underbrace{(x^{2}-4)}_{\text{inf}}\bigr]dx =\int_{-2}^{2}(-2\,x^{2}+8)\,dx.

Passo 4

Calculemos a integral. Uma antiderivada de -2x^{2}+8 é
F(x) = -\tfrac{2}{3}\,x^{3} + 8\,x.
Logo
A = F(2) - F(-2) = \Bigl(-\tfrac{2}{3}\cdot 8 + 16\Bigr) - \Bigl(-\tfrac{2}{3}\cdot(-8) -16\Bigr) = \Bigl(-\tfrac{16}{3}+16\Bigr) - \Bigl(\tfrac{16}{3}-16\Bigr) = \frac{32}{3} - \bigl(-\tfrac{32}{3}\bigr) = \frac{64}{3}.

Resposta

(a) A região é o “lens” entre as duas parábolas, no intervalo x\in[-2,2], com vértices em (0,4) e (0,-4) e interseções em (-2,0) e (2,0).
(b) A área vale \displaystyle \frac{64}{3}.

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