Q.3: [\mathbf{2 , 0}] Calcule a área da Região \mathbf{S} limitada exatamente pelas curvas (Justifique suas respostas.)
y=x^{2} \text { e } y=2-x^{2}-\quad(2 ; 0)

Passo 1

O enunciado pede a área da região S limitada pelas curvas
y = x^{2} \quad\text{e}\quad y = 2 - x^{2}.
O conteúdo é aplicação de integração para área entre curvas: vamos achar os pontos de interseção, determinar qual função está por cima, montar a integral da diferença e calculá-la.

Passo 2

Para encontrar os pontos em que as duas curvas se cruzam, igualamos
x^{2} = 2 - x^{2}
logo
2x^{2} = 2 \quad\Rightarrow\quad x^{2} = 1 \quad\Rightarrow\quad x = \pm 1.
Em ambos os pontos y = (\pm1)^{2} = 1. Assim os pontos de interseção são (-1,1) e (1,1).

Passo 3

No intervalo -1 \le x \le 1 temos
x^{2} \le 2 - x^{2},
logo a curva superior é y = 2 - x^{2} e a inferior é y = x^{2}.

Passo 4

A área de S é
\int_{x=-1}^{1}\bigl[(\text{superior}) - (\text{inferior})\bigr]\,dx = \int_{-1}^{1}\bigl[(2 - x^{2}) - x^{2}\bigr]\,dx = \int_{-1}^{1}\bigl(2 - 2x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculando a integral:
\int_{-1}^{1}(2 - 2x^{2})\,dx = \left[2x - \frac{2x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} = \Bigl(2\cdot1 - \tfrac{2\cdot1^{3}}{3}\Bigr) - \Bigl(2\cdot(-1) - \tfrac{2\cdot(-1)^{3}}{3}\Bigr) = \bigl(2 - \tfrac{2}{3}\bigr) - \bigl(-2 + \tfrac{2}{3}\bigr) = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}.

Resposta

A área da região S é \displaystyle \frac{8}{3}.

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