Calcule:
\int x^{2} \operatorname{sen} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{2}\sin x\,dx.
O conteúdo principal aqui é o método de integração por partes, que se baseia na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Vamos aplicar essa ideia repetidas vezes até eliminar o polinômio.

Passo 2

Escolhemos na primeira aplicação
u = x^{2},\qquad dv = \sin x\,dx.
Então
du = 2x\,dx,\qquad v = \int \sin x\,dx = -\cos x.
Pela fórmula de integração por partes,
\int x^{2}\sin x\,dx = u\,v - \int v\,du = -x^{2}\cos x - \int \bigl(-\cos x\bigr)\,(2x\,dx) = -x^{2}\cos x + 2\int x\cos x\,dx.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \int x\cos x\,dx, aplicamos outra vez integração por partes com
u = x,\qquad dv = \cos x\,dx,
logo
du = dx,\qquad v = \int \cos x\,dx = \sin x.
Assim
\int x\cos x\,dx = u\,v - \int v\,du = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x.

Passo 4

Voltando ao resultado do Passo 2, substituímos \displaystyle \int x\cos x\,dx:
\int x^{2}\sin x\,dx = -x^{2}\cos x + 2\bigl(x\sin x + \cos x\bigr) + C = -x^{2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C.

Resposta

\boxed{\int x^{2}\sin x\,dx = -x^{2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C.}

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