\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \cos (x)-e^{x}-e^{-x}}{2 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \to 0} \frac{2\cos(x) - e^x - e^{-x}}{2x^2}.
O conteúdo aqui é cálculo de limite de indeterminação do tipo \tfrac{0}{0} usando séries de Taylor em torno de x=0.

Passo 2

Vamos usar as expansões de Taylor até termos de ordem x^4. As séries em torno de zero são:
\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \cdots
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots
e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots

Passo 3

Aplique essas séries nas expressões do numerador:
2\cos(x) = 2\Bigl(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \cdots\Bigr) = 2 - x^2 + \frac{x^4}{12} + \cdots
e^x + e^{-x} = \Bigl(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots\Bigr) + \Bigl(1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots\Bigr) = 2 + x^2 + \frac{x^4}{12} + \cdots

Passo 4

Subtraindo e dividindo por 2x^2, obtemos:
2\cos(x) - e^x - e^{-x} = \bigl(2 - x^2 + \tfrac{x^4}{12} + \cdots\bigr) - \bigl(2 + x^2 + \tfrac{x^4}{12} + \cdots\bigr) = -2x^2 + O(x^6).
Logo,
\frac{2\cos(x) - e^x - e^{-x}}{2x^2} = \frac{-2x^2 + O(x^6)}{2x^2} \longrightarrow -1 \quad\text{quando }x\to0.

Resposta

-1

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