Calcule:
\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}\,dx.
O conteúdo principal aqui é reconhecer que a função integrando é do tipo \tfrac{1}{u} com u=1+x, cuja antiderivada conhecemos como \ln|u|. Em seguida, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar essa antiderivada nos limites de 0 a 1.

Passo 2

Encontrar a antiderivada de \tfrac{1}{1+x}. Fazendo a substituição u=1+x, temos du=dx, então
\int \frac{1}{1+x}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du = \ln\lvert u\rvert + C = \ln(1+x) + C.

Passo 3

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo avaliando \ln(1+x) entre x=0 e x=1:
\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}\,dx = \bigl[\ln(1+x)\bigr]_{0}^{1} = \ln(1+1) - \ln(1+0) = \ln(2) - \ln(1).

Passo 4

Lembrando que \ln(1)=0, concluímos que
\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}\,dx = \ln(2).

Resposta

\ln(2)

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