Calcule:
\int_{-1}^{1} x^{3} e^{x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{1} x^{3} e^{x^{4}}\,dx.
Este exercício envolve reconhecer que a derivada de x^{4} aparece multiplicando e^{x^{4}}. Vamos usar substituição para encontrar a antiderivada.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{4} \quad\Longrightarrow\quad du = 4\,x^{3}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{3}\,dx = \frac{du}{4}.
Substituindo numa integral indefinida,
\int x^{3} e^{x^{4}}\,dx = \int e^{u}\,\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int e^{u}\,du = \frac{e^{u}}{4} + C = \frac{e^{x^{4}}}{4} + C.

Passo 3

Agora avaliamos a integral definida usando F(x)=\tfrac{e^{x^{4}}}{4}:
\int_{-1}^{1} x^{3} e^{x^{4}}\,dx = F(1) - F(-1) = \frac{e^{1^{4}}}{4} - \frac{e^{(-1)^{4}}}{4} = \frac{e}{4} - \frac{e}{4} = 0.

Resposta

0

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