Calcule
(a) \int \frac{x^{3}+2}{x^{2}-x-6} dx
(b) \int \frac{x+5}{x^{3}-2 x^{2}+x} dx
(c) \int \frac{x^{2}-x+5}{x\left(x^{2}+1\right)} dx
(d) \int \frac{2 x^{2}+x+7}{\left(x^{2}+4\right)^{2}} dx
(e) \int \frac{x^{2}+3}{x^{2}-9} dx
(f) \int \frac{d x}{x^{3}-1}
(g) \int \frac{x+3}{x(x-3)(x-4)} dx
(h) \int \frac{3}{x^{3}-16 x} dx
(i) \int \frac{x^{3}+1}{x^{3}-x^{2}-2 x} dx
(l) \int \frac{5}{\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-9\right)} dx
(m) \int \frac{x^{4}+2 x^{2}-8 x+4}{x^{3}-8} dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular várias primitivas de funções racionais. O conteúdo principal é integração de funções da forma \tfrac{P(x)}{Q(x)}, onde usamos divisão de polinômios (quando \deg P\ge\deg Q) e decomposição em frações parciais (quando \deg P<\deg Q). Também vamos aplicar integrais padrão de \int dx/(x-a), \int x\,dx/(x^2+a^2), \int dx/(x^2+a^2) e \int dx/(x^2+a^2)^2, além de completar quadrados quando necessário e substituições lineares.

Passo 2

Para
\int \frac{x^{3}+2}{x^{2}-x-6}\,dx,
fazemos divisão:
\frac{x^3+2}{x^2-x-6}=x+1+\frac{7x+8}{(x-3)(x+2)}.
Em seguida,
\frac{7x+8}{(x-3)(x+2)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2},
com 7x+8=A(x+2)+B(x-3). Das condições x=3 e x=-2 achamos A=29/5, B=6/5. Logo
\int\frac{x^3+2}{x^2-x-6}\,dx =\int\Bigl(x+1+\frac{29/5}{x-3}+\frac{6/5}{x+2}\Bigr)dx =\frac{x^2}{2}+x+\frac{29}{5}\ln|x-3|+\frac{6}{5}\ln|x+2|+C.

Passo 3

Para
\int \frac{x+5}{x^3-2x^2+x}\,dx =\int \frac{x+5}{x(x-1)^2}\,dx,
fazemos
\frac{x+5}{x(x-1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2},
levando a A=5, B=-5, C=6. Então
\int\frac{x+5}{x(x-1)^2}\,dx =5\ln|x|-5\ln|x-1|-\frac{6}{x-1}+C.

Passo 4

Para
\int \frac{x^{2}-x+5}{x(x^2+1)}\,dx,
escrevemos
\frac{x^2-x+5}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1},
o que dá A=5, B=-4, C=-1. Logo
\int\frac{x^2-x+5}{x(x^2+1)}\,dx =5\ln|x|-\!4\int\frac{x}{x^2+1}dx-\int\frac{1}{x^2+1}dx =5\ln|x|-2\ln(x^2+1)-\arctan x+ C.

Passo 5

Para
\int \frac{2x^{2}+x+7}{(x^2+4)^2}\,dx,
fazemos a decomposição
\frac{2x^2+x+7}{(x^2+4)^2} =\frac{0\cdot x+2}{x^2+4}+\frac{1\cdot x-1}{(x^2+4)^2}.
Isso leva a
\int\frac{2}{x^2+4}dx +\int\frac{x}{(x^2+4)^2}dx -\int\frac{1}{(x^2+4)^2}dx.
Usando fórmulas padrão e a substituição u=x^2+4, obtém-se
\int\frac{2x^{2}+x+7}{(x^2+4)^2}\,dx =\frac{15}{16}\arctan\frac{x}{2} -\frac{x+4}{8(x^2+4)}+C.

Passo 6

Para
\int \frac{x^{2}+3}{x^2-9}\,dx,
fazemos divisão x^2+3=1\cdot(x^2-9)+12, logo
\frac{x^2+3}{x^2-9}=1+\frac{12}{(x-3)(x+3)} =\;1+\frac{2}{x-3}-\frac{2}{x+3}.
Integramos:
\int\frac{x^2+3}{x^2-9}\,dx =x+2\ln|x-3|-2\ln|x+3|+C.

Passo 7

Para
\int \frac{dx}{x^3-1} =\int\frac{dx}{(x-1)(x^2+x+1)},
fazemos frações parciais
\frac1{(x-1)(x^2+x+1)} =\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1},
com A=1/3, B=-1/3, C=-2/3. Após separar em integrais de \ln e de \arctan (com quadrado completo em x^2+x+1), chega-se a
\int\frac{dx}{x^3-1} =\frac{1}{3}\ln|x-1|-\frac{1}{6}\ln(x^2+x+1) -\frac{1}{\sqrt3}\arctan\!\frac{2x+1}{\sqrt3}+C.

Passo 8

Para
\int \frac{x+3}{x(x-3)(x-4)}\,dx,
decompondo
\frac{x+3}{x(x-3)(x-4)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x-3}+\frac{C}{x-4},
encontramos A=1/4, B=-2, C=7/4. Assim
\int\frac{x+3}{x(x-3)(x-4)}\,dx =\frac14\ln|x|-2\ln|x-3|+\frac74\ln|x-4|+C.

Passo 9

Para
\int \frac{3}{x^3-16x}\,dx =\int\frac{3}{x(x-4)(x+4)}\,dx,
fazemos
\frac{3}{x(x-4)(x+4)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x-4}+\frac{C}{x+4},
com A=-\tfrac{3}{16}, B=C=\tfrac{3}{32}. Logo
\int\frac{3}{x^3-16x}\,dx =-\frac{3}{16}\ln|x|+\frac{3}{32}\ln|x-4|+\frac{3}{32}\ln|x+4|+C.

Passo 10

Para
\int \frac{x^3+1}{x^3-x^2-2x}\,dx,
percebemos que x^3+1=(x^3-x^2-2x)+ (x^2+2x+1). Assim
\frac{x^3+1}{x(x-2)(x+1)}=1+\frac{(x+1)^2}{x(x-2)(x+1)} =1+\frac{x+1}{x(x-2)}.
Depois de decompor \tfrac{x+1}{x(x-2)} e integrar, obtém-se
\int\frac{x^3+1}{x^3-x^2-2x}\,dx =x-\frac12\ln|x|+\frac32\ln|x-2|+C.

Passo 11

Para
\int \frac{5}{(x^2-1)(x^2-9)}\,dx,
escrevemos
\frac{5}{(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)} =\sum_{a\in\{1,-1,3,-3\}}\frac{A_a}{x-a},
e achamos
A_{1}=-\tfrac{5}{16},\;A_{-1}=\tfrac{5}{16},\;A_{3}=\tfrac{5}{48},\;A_{-3}=-\tfrac{5}{48}.
Logo
\int\frac{5}{(x^2-1)(x^2-9)}\,dx =-\frac{5}{16}\ln|x-1|+\frac{5}{16}\ln|x+1| +\frac{5}{48}\ln|x-3|-\frac{5}{48}\ln|x+3|+C.

Passo 12

Para
\int \frac{x^{4}+2x^{2}-8x+4}{x^3-8}\,dx,
fazemos primeiro divisão:
\frac{x^4+2x^2-8x+4}{x^3-8}=x+\frac{2x^2+4}{x^3-8}.
Depois, em \tfrac{2x^2+4}{(x-2)(x^2+2x+4)}, a decomposição dá
\frac{2x^2+4}{x^3-8} =\frac1{x-2}+\frac{x}{x^2+2x+4}.
Integramos \int x\,dx, \int dx/(x-2) e \int x\,dx/(x^2+2x+4) (esta última completando o quadrado em x^2+2x+4=(x+1)^2+3). O resultado final é
\int\frac{x^4+2x^2-8x+4}{x^3-8}\,dx =\frac{x^2}{2}+\ln|x-2|+\frac12\ln\bigl(x^2+2x+4\bigr) -\frac{1}{\sqrt3}\arctan\!\frac{x+1}{\sqrt3}+C.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{x^2}{2}+x+\frac{29}{5}\ln|x-3|+\frac{6}{5}\ln|x+2|+C
(b) \displaystyle 5\ln|x|-5\ln|x-1|-\frac{6}{x-1}+C
(c) \displaystyle 5\ln|x|-2\ln(x^2+1)-\arctan x+ C
(d) \displaystyle \frac{15}{16}\arctan\frac{x}{2}-\frac{x+4}{8(x^2+4)}+C
(e) \displaystyle x+2\ln|x-3|-2\ln|x+3|+C
(f) \displaystyle \frac{1}{3}\ln|x-1|-\frac{1}{6}\ln(x^2+x+1)-\frac{1}{\sqrt3}\arctan\!\frac{2x+1}{\sqrt3}+C
(g) \displaystyle \frac14\ln|x|-2\ln|x-3|+\frac74\ln|x-4|+C
(h) \displaystyle -\frac{3}{16}\ln|x|+\frac{3}{32}\ln|x-4|+\frac{3}{32}\ln|x+4|+C
(i) \displaystyle x-\frac12\ln|x|+\frac32\ln|x-2|+C
(l) \displaystyle -\frac{5}{16}\ln|x-1|+\frac{5}{16}\ln|x+1|+\frac{5}{48}\ln|x-3|-\frac{5}{48}\ln|x+3|+C
(m) \displaystyle \frac{x^2}{2}+\ln|x-2|+\frac12\ln\bigl(x^2+2x+4\bigr)-\frac{1}{\sqrt3}\arctan\!\frac{x+1}{\sqrt3}+C

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