Questão 2. (2.5 pontos)
Calcule o volume do sólido W limitado superiormente pelo parabolóide elíptico z=6-x^{2}-4 y^{2} e inferiormente pelo cone elíptico z=\sqrt{x^{2}+4 y^{2}}.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido W limitado superiormente pelo parabolóide elíptico
z = 6 - x^{2} - 4y^{2}
e inferiormente pelo cone elíptico
z = \sqrt{x^{2} + 4y^{2}}\,.
O conteúdo principal é cálculo de volume por integral dupla, usando a fórmula
V = \iint_{D}\bigl(z_{\text{sup}} - z_{\text{inf}}\bigr)\,dA
e uma mudança para coordenadas que “elipsem” o domínio D no plano xy.
Passo 2
Determinar a curva de interseção das superfícies:
6 - x^{2} - 4y^{2} = \sqrt{x^{2} + 4y^{2}}\,.
Seja u = x^{2} + 4y^{2}, então a equação fica
6 - u = \sqrt{u}\quad\Longrightarrow\quad u + \sqrt{u} - 6 = 0.
Tomando t = \sqrt{u}\ge0, obtemos
t^{2} + t - 6 = 0\quad\Longrightarrow\quad t=2\\ (\text{descartamos }t=-3).
Logo u = t^{2}=4, isto é, a fronteira é a elipse
x^{2} + 4y^{2} = 4.
Passo 3
Para “circularizar” a elipse, use a mudança
x = 2r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
com 0\le r\le 1, 0\le\theta\le 2\pi. O jacobiano vale