Questão 2. (2.5 pontos)
Calcule o volume do sólido W limitado superiormente pelo parabolóide elíptico z=6-x^{2}-4 y^{2} e inferiormente pelo cone elíptico z=\sqrt{x^{2}+4 y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido W limitado superiormente pelo parabolóide elíptico
z = 6 - x^{2} - 4y^{2}
e inferiormente pelo cone elíptico
z = \sqrt{x^{2} + 4y^{2}}\,.
O conteúdo principal é cálculo de volume por integral dupla, usando a fórmula
V = \iint_{D}\bigl(z_{\text{sup}} - z_{\text{inf}}\bigr)\,dA
e uma mudança para coordenadas que “elipsem” o domínio D no plano xy.

Passo 2

Determinar a curva de interseção das superfícies:
6 - x^{2} - 4y^{2} = \sqrt{x^{2} + 4y^{2}}\,.
Seja u = x^{2} + 4y^{2}, então a equação fica
6 - u = \sqrt{u}\quad\Longrightarrow\quad u + \sqrt{u} - 6 = 0.
Tomando t = \sqrt{u}\ge0, obtemos
t^{2} + t - 6 = 0\quad\Longrightarrow\quad t=2\\ (\text{descartamos }t=-3).
Logo u = t^{2}=4, isto é, a fronteira é a elipse
x^{2} + 4y^{2} = 4.

Passo 3

Para “circularizar” a elipse, use a mudança
x = 2r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
com 0\le r\le 1, 0\le\theta\le 2\pi. O jacobiano vale
\bigl|\partial(x,y)/\partial(r,\theta)\bigr| = 2r.

Passo 4

Expressões em termos de r,\theta:
x^{2}+4y^{2} = 4r^{2}, \quad \sqrt{x^{2}+4y^{2}} = 2r, \quad 6 - x^{2} - 4y^{2} = 6 - 4r^{2}.
Assim o “altura” é
z_{\text{sup}} - z_{\text{inf}} = \bigl(6 - 4r^{2}\bigr) - 2r = 6 - 4r^{2} - 2r.

Passo 5

O volume fica
V = \int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=0}^{1} \bigl(6 - 4r^{2} - 2r\bigr)\,(2r)\,dr\,d\theta.
Calcule a integral em r:
\int_{0}^{1} (6 - 4r^{2} - 2r)\,2r\,dr = \int_{0}^{1} \bigl(12r - 8r^{3} - 4r^{2}\bigr)\,dr = \Bigl[6 - 2 - \tfrac{4}{3}\Bigr] = \tfrac{8}{3}.
Logo
V = \int_{0}^{2\pi} \tfrac{8}{3}\,d\theta = \tfrac{8}{3}\,(2\pi) = \tfrac{16\pi}{3}.

Resposta

V = \frac{16\pi}{3}.

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