Calcule
(a) \int_{0}^{3} \frac{x^{3}}{\sqrt{9+x^{2}}} dx
(b) \int_{2}^{6} \frac{d x}{x^{2} \sqrt{4+x^{2}}}
(c) \int \frac{d x}{x^{2} \sqrt{4-x^{2}}}
(d) \int \frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x^{4}} dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular quatro integrais definidas ou indefinidas envolvendo radicais do tipo \sqrt{a\pm x^{2}} e potências de x. O conteúdo principal é usar substituições adequadas:
– Substituição algébrica para reduzir \sqrt{9+x^{2}}.
– Substituições trigonométricas para expressões \sqrt{4\pm x^{2}} e \sqrt{x^{2}-9}.

Passo 2

Para
\int_{0}^{3}\frac{x^{3}}{\sqrt{9+x^{2}}}\,dx
faço u=9+x^{2}, logo du=2x\,dx e x^{2}=u-9. Assim
x^{3}\,dx = x^{2}\,x\,dx = (u-9)\frac{du}{2}
e o integral vira
\frac12\int_{u(0)=9}^{u(3)=18}(u-9)u^{-\tfrac12}du =\frac12\int_{9}^{18}\bigl(u^{\tfrac12}-9u^{-\tfrac12}\bigr)du.
Integro:
\frac12\Bigl[\frac{2}{3}u^{\tfrac32}-9\cdot2u^{\tfrac12}\Bigr]_{9}^{18} =\Bigl[\frac{1}{3}u^{\tfrac32}-9u^{\tfrac12}\Bigr]_{9}^{18} =(-9\sqrt{18})-(-18)=18-9\sqrt{2}.

Passo 3

Para
\int_{2}^{6}\frac{dx}{x^{2}\sqrt{4+x^{2}}},
uso x=2\tan\theta, dx=2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta, \sqrt{4+x^{2}}=2\operatorname{sec}\theta. Então
\int\frac{2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{4\tan^{2}\theta\cdot2\operatorname{sec}\theta} =\frac14\int\frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan^{2}\theta}d\theta =\frac14\int\cot\theta\,\csc\theta\,d\theta =-\frac14\csc\theta.
Como \csc\theta=\frac{\sqrt{4+x^{2}}}{x}, o antiderivado é
-\frac{1}{4}\,\frac{\sqrt{4+x^{2}}}{x}\Bigg|_{2}^{6} =-\frac14\Bigl(\frac{\sqrt{40}}{6}-\frac{\sqrt{8}}{2}\Bigr) =\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{10}}{12} =\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{12}.

Passo 4

Para
\int\frac{dx}{x^{2}\sqrt{4-x^{2}}},
faço x=2\sin\theta, dx=2\cos\theta\,d\theta, \sqrt{4-x^{2}}=2\cos\theta. Assim
\int\frac{2\cos\theta\,d\theta}{4\sin^{2}\theta\cdot2\cos\theta} =\frac14\int\csc^{2}\theta\,d\theta =-\frac14\cot\theta + C.
Como \cot\theta=\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}, o resultado é
-\frac{1}{4}\,\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}+C.

Passo 5

Para
\int\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x^{4}}\,dx,
uso x=3\operatorname{sec}\theta, dx=3\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta, \sqrt{x^{2}-9}=3\tan\theta. Então o integrando fica
\frac{3\tan\theta}{81\operatorname{sec}^{4}\theta}\cdot3\operatorname{sec}\theta\tan\theta =\frac{1}{9}\frac{\tan^{2}\theta}{\operatorname{sec}^{3}\theta} =\frac{1}{9}(\cos\theta-\cos^{3}\theta).
Integro:
\frac{1}{9}\Bigl(\int\cos\theta\,d\theta-\int\cos^{3}\theta\,d\theta\Bigr) =\frac{1}{9}\Bigl(\sin\theta -(\sin\theta-\tfrac{\sin^{3}\theta}{3})\Bigr) =\frac{\sin^{3}\theta}{27}+C.
E como \sin\theta=\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x}, o resultado é
\frac{1}{27}\,\frac{(x^{2}-9)^{3/2}}{x^{3}}+C.

Resposta

(a) 18-9\sqrt{2}.
(b) \displaystyle \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{12}.
(c) -\tfrac{1}{4}\,\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}+C.
(d) \displaystyle \frac{1}{27}\,\frac{(x^{2}-9)^{3/2}}{x^{3}}+C.

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