Calcule
(a) \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}-1} dx
(b) \int_{0}^{1} x^{2} \arcsin x dx
(c) \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x d x}{4+\cos ^{2} x}
(d) \int \frac{d x}{1-\operatorname{sen} x+\cos x} Dica: Faça u=\tan (x / 2) e use as identidades \operatorname{sen} x=2 \operatorname{sen}(x / 2) \cos (x / 2) e \cos x=\cos ^{2}(x / 2)-\operatorname{sen}^{2}(x / 2)
(e) \int \frac{d x}{\sqrt[3]{x+1}}
(f) \int \frac{x^{4} d x}{\sqrt{x^{2}-4}}
(g) \int \frac{d x}{\sqrt{6 x-x^{2}}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular sete integrais diferentes, envolvendo técnicas como substituições diretas, substituição trigonométrica, frações parciais, integração por partes e a substituição u=\tan(x/2). Vamos resumir o que usaremos:
Para (a) substituição x=t^2 e frações parciais.
Para (b) integração por partes e mudança t=1-x^2.
Para (c) u=\cos x e simetria.
Para (d) a substituição u=\tan(x/2) e as identidades dadas.
Para (e) mudança linear u=x+1.
Para (f) substituição trigonométrica x=2\operatorname{sec}\theta.
Para (g) completar quadrado e usar a integral de arco seno.
Passo 2
(a) Seja x=t^2. Então \,dx=2t\,dt e \sqrt{x}=t. A integral vira