Calcule
(a) \int
\operatorname{sen}^{3} x \sqrt{\cos x} dx
(b) \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}^{2} \frac{t}{2} \cos ^{5} \frac{t}{2} dt
(c) \int \operatorname{sen}^{2} t \cos ^{2} t dt
(d) \int \frac{\operatorname{sec} ^{4} t}{\tan t} dt
(e) \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan ^{2} x \operatorname{sec} x dx
Passo 1
O enunciado pede cinco integrais envolvendo potências de funções trigonométricas. Vamos usar identidades como \sin^2x=1-\cos^2x, \tan^2x=\operatorname{sec}^2x-1, a substituição u=\cos x ou u=\tan x, e, quando necessário, a redução de potências (por exemplo, escrever \sin^2t\cos^2t em termos de \cos4t).
Passo 2
Para \displaystyle\int \sin^3x\sqrt{\cos x}\,dx escrevemos \sin^3x=\sin x\,(1-\cos^2x) e fazemos u=\cos x, de modo que du=-\sin x\,dx. Assim
Usando a substituição w=\sin u, cada integral de \cos^n reduz a polinômio em w. Calcula-se \int_{0}^{\frac\pi2}\cos^5u\,du=8/15 e \int_{0}^{\frac\pi2}\cos^7u\,du=16/35.
Logo
Avaliando de 0 a \pi/3:
em x=\pi/3 tem \operatorname{sec} x=2, \tan x=\sqrt3, então \tfrac12\operatorname{sec} x\tan x=\sqrt3 e \ln|\operatorname{sec} x+\tan x|=\ln(2+\sqrt3).
Em x=0 tudo dá zero. Logo o valor é