Calcule:
\int \frac{5+x}{x^{2}-2+x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{x+5}{x^{2}+x-2}\,dx
O conteúdo aqui é integração de função racional, e vamos usar decomposição em frações parciais para resolver.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador para ver as raízes:
x^{2}+x-2 = (x-1)(x+2).

Passo 3

Assumimos que a fração pode ser escrita como
\frac{x+5}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x+2), obtemos
x+5 = A(x+2) + B(x-1).
Expandindo e comparando coeficientes de x e do termo constante, vêm as equações
A + B = 1,
2A - B = 5.
Resolvendo esse sistema dá
A = 2, \quad B = -1.

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
\int \frac{x+5}{x^{2}+x-2}\,dx = \int \Bigl(\frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+2}\Bigr)\,dx = 2\int \frac{dx}{x-1} \;-\;\int \frac{dx}{x+2}.
As antiderivadas são logaritmos naturais, logo
2\ln\lvert x-1\rvert \;-\;\ln\lvert x+2\rvert + C.

Resposta

2\ln\lvert x-1\rvert - \ln\lvert x+2\rvert + C

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