Calcule:
\int_{0}^{4} x \cdot e^{3 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{4} x\,e^{3x}\,\mathrm{d}x.
O conteúdo é integração por partes, usando a fórmula
\int u\,\mathrm{d}v = u\,v - \int v\,\mathrm{d}u.

Passo 2

Escolhemos
u = x, \quad \mathrm{d}v = e^{3x}\,\mathrm{d}x.
Então
\mathrm{d}u = 1\cdot\mathrm{d}x \quad\text{e}\quad v = \int e^{3x}\,\mathrm{d}x = \tfrac{1}{3}e^{3x}.

Passo 3

Aplicando integração por partes:
\int x\,e^{3x}\,\mathrm{d}x = x\cdot\tfrac{1}{3}e^{3x} - \int \tfrac{1}{3}e^{3x}\,\mathrm{d}x = \tfrac{1}{3}x\,e^{3x} - \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{3}e^{3x} + C = \tfrac{1}{3}x\,e^{3x} - \tfrac{1}{9}e^{3x} + C.

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a 4:
\Bigl[\tfrac{1}{3}x\,e^{3x} - \tfrac{1}{9}e^{3x}\Bigr]_{0}^{4} = \bigl(\tfrac{1}{3}\cdot 4\,e^{12} - \tfrac{1}{9}e^{12}\bigr) - \bigl(\tfrac{1}{3}\cdot 0\,e^{0} - \tfrac{1}{9}e^{0}\bigr).
No numerador do primeiro termo fica \tfrac{4}{3}-\tfrac{1}{9}=\tfrac{12-1}{9}=\tfrac{11}{9}, e o segundo termo é -(-\tfrac{1}{9})=\tfrac{1}{9}. Logo,
\int_{0}^{4} x\,e^{3x}\,\mathrm{d}x = \tfrac{11}{9}e^{12} + \tfrac{1}{9} = \frac{11e^{12}+1}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{11e^{12}+1}{9}

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