Calcule:
\int \frac{5 x^{2}}{\sqrt{x^{3}-4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{5x^{2}}{\sqrt{x^{3}-4}}\,dx.
Este cálculo envolve o método de substituição, que é útil quando o integrando contém uma expressão e sua derivada.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{3} - 4,
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du = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Substituindo em \int \frac{5x^{2}}{\sqrt{x^{3}-4}}\,dx, obtemos
\int \frac{5x^{2}}{\sqrt{u}}\;dx = 5 \int \frac{x^{2}\,dx}{u^{1/2}} = 5 \int u^{-1/2}\,\frac{du}{3} = \frac{5}{3}\int u^{-1/2}\,du.
Agora,
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{1/2}}{\tfrac12} = 2u^{1/2}.
Portanto
\frac{5}{3}\int u^{-1/2}\,du = \frac{5}{3}\cdot 2u^{1/2} = \frac{10}{3}u^{1/2} + C.

Passo 4

Voltando à variável x, temos u^{1/2} = \sqrt{x^{3}-4}. Então a primitiva fica
\frac{10}{3}\sqrt{x^{3}-4} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{10}{3}\sqrt{x^{3}-4} + C

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