Trata-se de uma integral de função racional, e a técnica adequada é decomposição em frações parciais, pois o denominador se fatora em (x-3)^{2} e (x-4).
Multiplicando ambos os lados por (x-3)^{2}(x-4), obtemos o polinômio identidade
x = A\,(x-3)^{2} \;+\; B\,(x-3)(x-4)\;+\; C\,(x-4).
Passo 3
Expandindo e coletando termos em x^{2}\), \(x\) e termo constante:
\[A\,(x^{2}-6x+9) \;+\; B\,(x^{2}-7x+12)\;+\; Cx-4C \;=\;(A+B)\,x^{2} +(-6A-7B+C)\,x + (9A+12B-4C).
Como isso deve ser igual a x, igualamos coeficientes:
\begin{cases} A + B = 0,\\\\ -6A - 7B + C = 1,\\\\ 9A + 12B - 4C = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem B=-A\]. Substituindo em \(-6A -7(-A)+C=1 dá A+C=1, e em 9A+12(-A)-4C=0 dá -3A-4C=0.