Calcule:
\int \frac{x}{(x-3)^{2} \cdot(x-4)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x}{(x-3)^{2}\,(x-4)}\,dx
Trata-se de uma integral de função racional, e a técnica adequada é decomposição em frações parciais, pois o denominador se fatora em (x-3)^{2} e (x-4).

Passo 2

Proponho a decomposição
\frac{x}{(x-3)^{2}(x-4)} = \frac{A}{x-4} + \frac{B}{x-3} + \frac{C}{(x-3)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (x-3)^{2}(x-4), obtemos o polinômio identidade
x = A\,(x-3)^{2} \;+\; B\,(x-3)(x-4)\;+\; C\,(x-4).

Passo 3

Expandindo e coletando termos em x^{2}\), \(x\) e termo constante: \[A\,(x^{2}-6x+9) \;+\; B\,(x^{2}-7x+12)\;+\; Cx-4C \;=\;(A+B)\,x^{2} +(-6A-7B+C)\,x + (9A+12B-4C).
Como isso deve ser igual a x, igualamos coeficientes:
\begin{cases} A + B = 0,\\\\ -6A - 7B + C = 1,\\\\ 9A + 12B - 4C = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem B=-A\]. Substituindo em \(-6A -7(-A)+C=1 A+C=1, e em 9A+12(-A)-4C=0 -3A-4C=0.
Resolvendo esse sistema acha-se
A = 4,\quad B=-4,\quad C=-3.

Passo 4

Com esses valores, a integral vira
\int \Bigl(\frac{4}{x-4} - \frac{4}{x-3} - \frac{3}{(x-3)^{2}}\Bigr)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int \frac{4}{x-4}\,dx = 4\ln\lvert x-4\rvert,
\int \bigl(-\tfrac{4}{x-3}\bigr)\,dx = -4\ln\lvert x-3\rvert,
\int \bigl(-3\,(x-3)^{-2}\bigr)\,dx = -3\int (x-3)^{-2}\,dx = -3\cdot\frac{(x-3)^{-1}}{-1} = \frac{3}{x-3}.

Passo 5

Somando os resultados temos
4\ln\lvert x-4\rvert \;-\;4\ln\lvert x-3\rvert \;+\;\frac{3}{x-3} + C.

Resposta

\boxed{4\ln\lvert x-4\rvert \;-\;4\ln\lvert x-3\rvert \;+\;\frac{3}{x-3} + C.}

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