Calcule:
\int_{1}^{x^{2}} \ln (t+1) d t

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{x^{2}} \ln(t+1)\,dt
Tratamos de encontrar uma primitiva de \ln(t+1) e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Para achar a primitiva de \ln(t+1), fazemos a troca de variável
u = t+1,\quad du = dt.
Assim,
\int \ln(t+1)\,dt = \int \ln(u)\,du = u\ln(u) - u + C.
Voltando à variável t, obtemos
F(t) = (t+1)\ln(t+1) - (t+1) + C.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{1}^{x^{2}} \ln(t+1)\,dt = F(x^{2}) - F(1).
Substituindo:
F(x^{2}) = (x^{2}+1)\ln(x^{2}+1) - (x^{2}+1),
F(1) = (1+1)\ln(2) - (1+1) = 2\ln(2) - 2.

Passo 4

Fazendo a diferença e simplificando, temos
(x^{2}+1)\ln(x^{2}+1) - (x^{2}+1) - \bigl(2\ln(2) - 2\bigr) = (x^{2}+1)\ln(x^{2}+1) - x^{2} + 1 - 2\ln(2).

Resposta

\int_{1}^{x^{2}} \ln(t+1)\,dt = (x^{2}+1)\ln(x^{2}+1) - x^{2} + 1 - 2\ln(2).

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