Calcule \int \frac{\cos (x) \ln (x)-\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}}{[\ln (x)]^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int \frac{\cos(x)\,\ln(x) \;-\;\frac{\sin(x)}{x}}{[\ln(x)]^{2}}\;dx.
O conteúdo envolve reconhecer uma forma de derivada de quociente, isto é, buscar uma função F(x) cuja derivada seja exatamente o integrando.

Passo 2

Tente o candidato
F(x)=\frac{\sin(x)}{\ln(x)}.
Aplicando a regra do quociente,
F'(x) =\frac{\cos(x)\,\ln(x)-\sin(x)\,\frac{d}{dx}[\ln(x)]}{[\ln(x)]^{2}} =\frac{\cos(x)\,\ln(x)-\sin(x)\,\frac{1}{x}}{[\ln(x)]^{2}} =\frac{\cos(x)\,\ln(x)-\frac{\sin(x)}{x}}{[\ln(x)]^{2}}.
Isso coincide exatamente com o integrando.

Passo 3

Como F'(x) é o integrando, concluímos que uma primitiva é
F(x)=\frac{\sin(x)}{\ln(x)}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sin(x)}{\ln(x)}+C

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