Calcule:
\int \frac{d x}{5 x-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{dx}{5x-1}
Trata-se de uma função racional do tipo \frac{1}{ax+b}, cuja primitiva geral é
\int \frac{dx}{ax+b} = \frac{1}{a}\ln\lvert ax+b\rvert + C.

Passo 2

Para aplicar esse caso, fazemos a substituição
u = 5x - 1.
Diferenciando, obtemos
du = 5\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{5}.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \frac{dx}{5x-1} = \int \frac{1}{u}\,\frac{du}{5} = \frac{1}{5}\int \frac{du}{u}.

Passo 4

Sabendo que
\int \frac{du}{u} = \ln\lvert u\rvert + C,
concluímos
\frac{1}{5}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{5}\ln\lvert u\rvert + C = \frac{1}{5}\ln\lvert 5x-1\rvert + C.

Resposta

\frac{1}{5}\ln\lvert 5x-1\rvert + C

Exercícios relacionados