Questầo 03 (5 pontos) Calcule a integral
\int_{0}^{13} \frac{1}{\sqrt[3]{(1+2 x)^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{13} \frac{1}{\sqrt[3]{(1+2x)^{2}}}\,dx
Isso é equivalente a
\int_{0}^{13}(1+2x)^{-2/3}\,dx.
O método mais direto aqui é fazer uma substituição simples do tipo u=1+2x.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = 1 + 2x, \quad du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{2}.
Quando x=0, u=1. Quando x=13, u=1+2\cdot13=27. Assim a integral vira
\int_{0}^{13}(1+2x)^{-2/3}\,dx = \frac12 \int_{1}^{27} u^{-2/3}\,du.

Passo 3

Agora, para integrar u^{-2/3}, lembramos que
\int u^{-2/3}\,du = \frac{u^{-2/3+1}}{-2/3+1} = \frac{u^{1/3}}{1/3} = 3\,u^{1/3}.
Logo a primitiva da integral original é
\frac12 \cdot 3\,u^{1/3} = \frac{3}{2}\,u^{1/3}.

Passo 4

Basta avaliar nos limites u=1 e u=27:
\frac{3}{2}\bigl(27^{1/3} - 1^{1/3}\bigr) = \frac{3}{2}\bigl(3 - 1\bigr) = \frac{3}{2}\cdot2 = 3.

Resposta

3

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