Calcule:
\int \frac{d x}{(-2 x+3)^{10}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{(-2x+3)^{10}},
que é um caso de aplicação de substituição simples em integrais de potências de função linear. Vamos usar a regra de potência após fazer a mudança de variável adequada.

Passo 2

Definimos a substituição
u = -2x + 3.
Diferenciando ambos os lados em relação a x, obtemos
du = -2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{-2}.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \frac{dx}{(-2x+3)^{10}} = \int \frac{1}{u^{10}}\;\frac{du}{-2} = -\frac{1}{2}\,\int u^{-10}\,du.

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência para integrais, que diz
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}\quad(n\neq -1).
Aqui n=-10, logo
\int u^{-10}\,du = \frac{u^{-9}}{-9}.

Passo 5

Multiplicando pelo fator -\tfrac12, o resultado em u fica
-\frac{1}{2}\,\cdot\frac{u^{-9}}{-9} = \frac{1}{18}\,u^{-9}.

Passo 6

Voltando à variável x por u=-2x+3, obtemos a antiderivada
\frac{1}{18}\,(-2x+3)^{-9} + C.

Resposta

\frac{1}{18\,(-2x+3)^{9}} + C.

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