• (2) (Valor: 2,0 ) Calcule a área da superfície gerada pela rotação do arco da curva
    em torno do eixo Oy .
y=x^{3} ; x=-1 ; x=1 ; y=0
x=y^{3} ; 0 \leq y \leq 1

Passo 1

Temos dois arcos de curvas que serão girados em torno do eixo Oy:
  1. O arco de y=x^{3} para -1\le x\le1.
  2. O arco de x=y^{3} para 0\le y\le1.
O conteúdo principal é área de superfície de revolução em torno do eixo Oy.
  • Quando a curva está dada como y=f(x), a fórmula é
S \;=\; 2\pi \int x\;\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\;dx.
  • Quando a curva está dada como x=g(y), a fórmula é
S \;=\; 2\pi \int g(y)\;\sqrt{1+\bigl(g'(y)\bigr)^{2}}\;dy.

Passo 2

Para o arco y=x^{3}, temos f'(x)=3x^{2}. A área de superfície ao girar de x=-1 a x=1 é
S_{1} =2\pi\int_{-1}^{1} \bigl|x\bigr|\;\sqrt{1+(3x^{2})^{2}}\;dx =2\pi\int_{-1}^{1} |x|\;\sqrt{1+9x^{4}}\;dx.
Como o integrando é par em |x|, podemos usar simetria:
S_{1} =4\pi\int_{0}^{1} x\;\sqrt{1+9x^{4}}\;dx.

Passo 3

Para calcular
\displaystyle \int_{0}^{1} x\sqrt{1+9x^{4}}\,dx, fazemos a substituição
t = x^{2},\quad dt = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx=\frac{dt}{2},
e quando x vai de 0 a 1, t vai de 0 a 1. Assim
\int_{0}^{1} x\sqrt{1+9x^{4}}\,dx =\frac12\int_{0}^{1}\sqrt{1+9t^{2}}\,dt.
Logo
S_{1} =4\pi\cdot\frac12\int_{0}^{1}\sqrt{1+9t^{2}}\,dt =2\pi\int_{0}^{1}\sqrt{1+9t^{2}}\,dt.

Passo 4

Usamos a integral padrão
\int \sqrt{1+a^{2}t^{2}}\,dt =\frac{t}{2}\sqrt{1+a^{2}t^{2}} +\frac{1}{2a}\ln\bigl(a\,t+\sqrt{1+a^{2}t^{2}}\bigr).
Aqui a=3. Então, de 0 a 1,
\int_{0}^{1}\sqrt{1+9t^{2}}\,dt =\frac{\sqrt{10}}{2} +\frac{1}{6}\ln\bigl(3+\sqrt{10}\bigr).
Portanto
S_{1} =2\pi\!\Bigl(\frac{\sqrt{10}}{2}+\frac{1}{6}\ln(3+\sqrt{10})\Bigr) =\pi\sqrt{10} \;+\;\frac{\pi}{3}\ln\!\bigl(3+\sqrt{10}\bigr).

Passo 5

Para o arco x=y^{3}, temos g'(y)=3y^{2}. A área de superfície ao girar de y=0 a y=1 é
S_{2} =2\pi\int_{0}^{1}y^{3}\;\sqrt{1+(3y^{2})^{2}}\;dy =2\pi\int_{0}^{1}y^{3}\;\sqrt{1+9y^{4}}\;dy.

Passo 6

Fazemos a substituição
u = 1+9y^{4},\quad du = 36y^{3}\,dy\quad\Longrightarrow\quad y^{3}dy=\frac{du}{36},
e u vai de 1 a 10. Logo
S_{2} =2\pi\int_{u=1}^{10}\sqrt{u}\,\frac{du}{36} =\frac{2\pi}{36}\int_{1}^{10}u^{1/2}\,du =\frac{\pi}{18}\cdot\frac{2}{3}\bigl[u^{3/2}\bigr]_{1}^{10} =\frac{\pi}{27}\bigl(10^{3/2}-1\bigr).
Como 10^{3/2}=10\sqrt{10}, temos
S_{2} =\frac{\pi}{27}\bigl(10\sqrt{10}-1\bigr).

Resposta

S_{1} = \pi\sqrt{10} \;+\;\dfrac{\pi}{3}\ln\!\bigl(3+\sqrt{10}\bigr)
S_{2} = \dfrac{\pi}{27}\bigl(10\sqrt{10}-1\bigr)

Exercícios relacionados