- (2) (Valor: 2,0 ) Calcule a área da superfície gerada pela rotação do arco da curva
em torno do eixo Oy .
em torno do eixo Oy .
Passo 1
Temos dois arcos de curvas que serão girados em torno do eixo
:
- O arco de
para . - O arco de
para .
O conteúdo principal é área de superfície de revolução em torno do eixo
.
- Quando a curva está dada como
, a fórmula é
- Quando a curva está dada como
, a fórmula é
Passo 2
Para o arco
, temos
. A área de superfície ao girar de
a
é
Como o integrando é par em
, podemos usar simetria:
Passo 3
Para calcular
, fazemos a substituição
e quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
Logo
Passo 4
Usamos a integral padrão
Aqui
. Então, de
a
,
Portanto
Passo 5
Para o arco
, temos
. A área de superfície ao girar de
a
é
Passo 6
Fazemos a substituição
e
vai de
a
. Logo
Como
, temos