Calcule
\int \frac{d x}{x^{3}+x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{d x}{x^{3}+x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O integrando é \dfrac{1}{x^{3}+x}.
  • O denominador pode ser fatorado (essa observação é útil e será usada depois).
  • Deve ser adicionada constante de integração C no final.

Passo 2

Fatorar o denominador para simplificar a expressão. Observa-se que x^{3}+x tem fator comum x, então
x^{3}+x = x\bigl(x^{2}+1\bigr).
Portanto a integral fica
\int \frac{d x}{x\bigl(x^{2}+1\bigr)}.

Passo 3

Explicar a ideia: quando o denominador é produto de fatores polinomiais (aqui um fator linear x e um quadrático irreduzível x^{2}+1), usa-se decomposição em frações parciais do tipo
\frac{1}{x\bigl(x^{2}+1\bigr)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1},
onde A,B,C são constantes a determinar. Isso permite dividir a integral original em integrais mais simples.

Passo 4

Determinar A,B,C\) multiplicando ambos os lados por \(x\bigl(x^{2}+1\bigr)\): \[1 = A\bigl(x^{2}+1\bigr) + (Bx+C)x.
Desenvolvendo o lado direito:
1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x = (A+B)x^{2} + C x + A.
Comparando coeficientes dos polinômios (coeficiente de x^{2}, de x e termo constante), obtemos o sistema
\begin{cases} A+B = 0,\\[4pt] C = 0,\\[4pt] A = 1. \end{cases}
Logo A=1\], \(B=-1 e C=0.]

Passo 5

Substituindo os coeficientes achados, a decomposição em frações parciais é
\frac{1}{x\bigl(x^{2}+1\bigr)}=\frac{1}{x}-\frac{x}{x^{2}+1}.
Portanto a integral se separa em duas integrais simples:
\int \frac{d x}{x^{3}+x}=\int\frac{d x}{x}-\int\frac{x\,d x}{x^{2}+1}.

Passo 6

Calcular a primeira integral. A primitiva de \dfrac{1}{x} é o logaritmo natural com valor absoluto:
\int \frac{d x}{x}=\ln\lvert x\rvert.
Explicação rápida: por definição, a derivada de \ln\lvert x\rvert é \dfrac{1}{x} para x\neq0.

Passo 7

Calcular a segunda integral usando substituição. Seja u=x^{2}+1. Então du=2x\,dx, ou seja x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du. Assim
\int \frac{x\,d x}{x^{2}+1}=\int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du=\frac{1}{2}\ln u=\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr).
Note que não é preciso valor absoluto em \ln\bigl(x^{2}+1\bigr) porque x^{2}+1>0 para todo x.

Passo 8

Juntando ambas as primitivas e lembrando da constante de integração C,
\int \frac{d x}{x^{3}+x}=\ln\lvert x\rvert - \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+C.
Opcionalmente pode-se combinar os logaritmos:
\ln\lvert x\rvert - \tfrac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)=\tfrac{1}{2}\ln\!\left(\frac{x^{2}}{x^{2}+1}\right),
mas a forma separada é geralmente mais direta na prova.

Resposta

\displaystyle \ln\lvert x\rvert - \tfrac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+C

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