Calcule
\int \frac{2 x^{2}-3 x+1}{x^{3}-x^{2}-2 x} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{2 x^{2}-3 x+1}{x^{3}-x^{2}-2 x}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O integrando é uma função racional: numerador 2x^{2}-3x+1 e denominador x^{3}-x^{2}-2x.
  • O denominador pode ser fatorado (isso geralmente ajuda muito em integrais racionais).
  • A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função cuja derivada seja o integrando.

Passo 2

Escolha do método (e por quê): para integrar uma função racional cujo grau do numerador é menor que o do denominador e cujo denominador fatora em fatores lineares distintos, o método padrão e mais simples é decompor em frações parciais. A ideia é escrever a fração como soma de termos simples do tipo \dfrac{A}{x-a}, cuja primitiva é \ln|x-a|. Vou aplicar esse método passo a passo.

Passo 3

Fatorar o denominador. Pegando o polinômio do denominador:
x^{3}-x^{2}-2x = x\,(x^{2}-x-2).
Agora fatorando o quadrático x^{2}-x-2:
x^{2}-x-2 = (x-2)(x+1).
Portanto o denominador fatorado é
x^{3}-x^{2}-2x = x(x-2)(x+1).

Passo 4

Montar a decomposição em frações parciais. Como todos os fatores do denominador são lineares e distintos, existe uma decomposição da forma
\frac{2 x^{2}-3 x+1}{x(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+1},
onde A, B e C são constantes a determinar.

Passo 5

Encontrar A, B, C. Multiplicando ambos os lados por x(x-2)(x+1) obtemos a identidade polinomial
2x^{2}-3x+1 = A(x-2)(x+1) + Bx(x+1) + Cx(x-2).
Vou expandir os termos do lado direito e depois igualar coeficientes.
Expandindo:
A(x-2)(x+1) = A(x^{2}-x-2) = A x^{2} - A x - 2A,
Bx(x+1) = B(x^{2}+x) = B x^{2} + B x,
Cx(x-2) = C(x^{2}-2x) = C x^{2} - 2C x.
Somando:
A x^{2} - A x - 2A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 2C x = (A+B+C)x^{2} + (-A+B-2C)x + (-2A).
Comparando com o lado esquerdo 2x^{2}-3x+1, obtemos o sistema linear para os coeficientes:
\begin{cases} A + B + C = 2,\\[4pt] - A + B - 2C = -3,\\[4pt] -2A = 1. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema. Da terceira equação temos
-2A = 1 \quad\Rightarrow\quad A = -\tfrac{1}{2}.
Substituindo em A+B+C=2\): \[-\tfrac{1}{2} + B + C = 2 \quad\Rightarrow\quad B + C = \tfrac{5}{2}.
Substituindo A na segunda equação:
-(-\tfrac{1}{2}) + B - 2C = -3 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{1}{2} + B - 2C = -3
\Rightarrow\quad B - 2C = -\tfrac{7}{2}.
Agora resolvendo o sistema
\begin{cases} B + C = \tfrac{5}{2},\\[4pt] B - 2C = -\tfrac{7}{2}, \end{cases}
subtraindo a segunda da primeira: (B+C)-(B-2C)=3C=\tfrac{5}{2}-(-\tfrac{7}{2})=\tfrac{12}{2}=6\], então \(C=2. Em seguida B=\tfrac{5}{2}-C=\tfrac{5}{2}-2=\tfrac{1}{2}.
Logo:
A = -\tfrac{1}{2},\qquad B = \tfrac{1}{2},\qquad C = 2.]

Passo 7

Reescrever a integral usando a decomposição e integrar termo a termo. Substituindo os coeficientes:
\frac{2 x^{2}-3 x+1}{x^{3}-x^{2}-2 x} = -\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{x} + \tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-2} + 2\cdot\frac{1}{x+1}.
Portanto
\int \frac{2 x^{2}-3 x+1}{x^{3}-x^{2}-2 x}\,dx = \int \left(-\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{x} + \tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-2} + 2\cdot\frac{1}{x+1}\right)\,dx.
Agora lembrando que a primitiva de \dfrac{1}{x-a} é \ln|x-a| (porque \dfrac{d}{dx}\ln|x-a|=\dfrac{1}{x-a}), e que constantes podem ser puxadas para fora da integral, integramos cada termo:
\int -\tfrac{1}{2}\frac{1}{x}\,dx = -\tfrac{1}{2}\ln|x|,
\int \tfrac{1}{2}\frac{1}{x-2}\,dx = \tfrac{1}{2}\ln|x-2|,
\int 2\frac{1}{x+1}\,dx = 2\ln|x+1|.
Somando as primitivadas e adicionando a constante de integração C, obtemos a antiderivada desejada.

Resposta

-\tfrac{1}{2}\ln|x|+\tfrac{1}{2}\ln|x-2|+2\ln|x+1|+C

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