Calcule as integrais
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se calcular a integral indefinida
. - Não há outras informações adicionais; é uma integral padrão a ser resolvida em função de
, com constante de integração .
Passo 2
Escolha do método (explicação intuitiva e amigável):
- A expressão
lembra a forma . Um método muito eficiente para integrar potências desse tipo é a substituição trigonométrica , porque faz virar uma múltipla de , que simplifica muito a integral. - Aqui
, logo . Vamos então usar . Vou explicar cada passo com calma, como se estivéssemos fazendo juntos na prova.
Passo 3
Fazer a substituição
e transformar
e
:
- Definindo
, temos
- Também
Passo 4
Substituir na integral e simplificar passo a passo:
- A integral original fica
- Calculemos o denominador:
. Portanto
pois
.
Passo 5
Integrar em
usando identidade trigonométrica (aula rápida):
- Lembrando a identidade de redução
temos
- Integrando:
Passo 6
Voltar para a variável
: expressar
e
em termos de
:
- Pela substituição
, obtemos . - Para
usamos . Se construirmos um triângulo reto com , então cateto oposto , cateto adjacente e hipotenusa . Assim
- Logo
- Substituindo
e na primitiva em :
- Simplificando o segundo termo:
Passo 7
Escrever a primitiva final e uma pequena verificação (rápida) — encorajamento:
- A primitiva encontrada é
- Se quiser checar rapidamente na prova, pode derivar essa expressão; a derivada volta a ser
. (Fazer essa checagem é uma boa prática para ganhar confiança.)