Calcule as integrais
\int \frac{d x}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{dx}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}.
  • Não há outras informações adicionais; é uma integral padrão a ser resolvida em função de x, com constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método (explicação intuitiva e amigável):
  • A expressão \left(x^{2}+4\right) lembra a forma \left(x^{2}+a^{2}\right). Um método muito eficiente para integrar potências desse tipo é a substituição trigonométrica x=a\tan\theta, porque faz x^{2}+a^{2} virar uma múltipla de \operatorname{sec}^{2}\theta, que simplifica muito a integral.
  • Aqui a^{2}=4, logo a=2. Vamos então usar x=2\tan\theta. Vou explicar cada passo com calma, como se estivéssemos fazendo juntos na prova.

Passo 3

Fazer a substituição x=2\tan\theta e transformar dx e x^{2}+4:
  • Definindo x=2\tan\theta, temos
dx = 2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
  • Também
x^{2}+4 = 4\tan^{2}\theta + 4 = 4\left(\tan^{2}\theta+1\right) = 4\operatorname{sec}^{2}\theta.

Passo 4

Substituir na integral e simplificar passo a passo:
  • A integral original fica
\int \frac{dx}{\left(x^{2}+4\right)^{2}} = \int \frac{2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{\bigl(4\operatorname{sec}^{2}\theta\bigr)^{2}}.
  • Calculemos o denominador: \bigl(4\operatorname{sec}^{2}\theta\bigr)^{2} = 16\operatorname{sec}^{4}\theta. Portanto
\int \frac{2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{16\operatorname{sec}^{4}\theta} = \int \frac{2}{16}\frac{\operatorname{sec}^{2}\theta}{\operatorname{sec}^{4}\theta}\,d\theta = \int \frac{1}{8}\cos^{2}\theta\,d\theta,
pois \dfrac{\operatorname{sec}^{2}\theta}{\operatorname{sec}^{4}\theta}=\dfrac{1}{\operatorname{sec}^{2}\theta}=\cos^{2}\theta.

Passo 5

Integrar em \theta usando identidade trigonométrica (aula rápida):
  • Lembrando a identidade de redução
\cos^{2}\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2},
temos
\int \frac{1}{8}\cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{1}{8}\int \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{16}\int \bigl(1+\cos(2\theta)\bigr)\,d\theta.
  • Integrando:
\frac{1}{16}\left(\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right) + C = \frac{\theta}{16} + \frac{\sin(2\theta)}{32} + C.

Passo 6

Voltar para a variável x: expressar \theta e \sin(2\theta) em termos de x:
  • Pela substituição x=2\tan\theta, obtemos \theta = \arctan\!\left(\dfrac{x}{2}\right).
  • Para \sin(2\theta) usamos \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta. Se construirmos um triângulo reto com \tan\theta=\dfrac{x}{2}, então cateto oposto =x, cateto adjacente =2 e hipotenusa =\sqrt{x^{2}+4}. Assim
\sin\theta = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}},\qquad \cos\theta = \frac{2}{\sqrt{x^{2}+4}}.
  • Logo
\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta = 2\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}\cdot\frac{2}{\sqrt{x^{2}+4}} = \frac{4x}{x^{2}+4}.
  • Substituindo \theta e \sin(2\theta) na primitiva em \theta:
\frac{\theta}{16} + \frac{\sin(2\theta)}{32} + C = \frac{1}{16}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{1}{32}\cdot\frac{4x}{x^{2}+4} + C.
  • Simplificando o segundo termo:
\frac{1}{32}\cdot\frac{4x}{x^{2}+4} = \frac{x}{8\left(x^{2}+4\right)}.

Passo 7

Escrever a primitiva final e uma pequena verificação (rápida) — encorajamento:
  • A primitiva encontrada é
\frac{x}{8\left(x^{2}+4\right)} + \frac{1}{16}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) + C.
  • Se quiser checar rapidamente na prova, pode derivar essa expressão; a derivada volta a ser \dfrac{1}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}. (Fazer essa checagem é uma boa prática para ganhar confiança.)

Resposta

\displaystyle \frac{x}{8\left(x^{2}+4\right)}+\frac{1}{16}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C

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