Esboce a região limitada pela curva y=x^{2}, pelo eixo x e pelas retas x=0 e x=2. Utilizando a definição de área limitada por uma curva, dada em aula (soma de Riemann), calcule a área de tal região.
Dica: utilize que \sum_{i=1}^{n} i^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região delimitada por y=x^{2}, pelo eixo x, e pelas retas x=0 e x=2, e calcular a área dessa região usando a definição de área via soma de Riemann. O conteúdo envolvido é “área sob a curva” por meio de partição do intervalo e limite de somas de retângannulos.

Passo 2

Dividimos o intervalo [0,2] em n subintervalos de largura
\Delta x = \frac{2-0}{n} = \frac{2}{n}.
Em cada subintervalo escolhemos o ponto à direita, que é
x_{i} = 0 + i\,\Delta x = \frac{2i}{n},
para i=1,2,\dots,n.

Passo 3

A área aproximada pela soma de Riemann à direita é
A_{n} = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i})\,\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \Bigl(x_{i}\Bigr)^{2}\,\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \Bigl(\tfrac{2i}{n}\Bigr)^{2}\,\frac{2}{n} = \frac{8}{n^{3}}\sum_{i=1}^{n}i^{2}.

Passo 4

Usando a dica \sum_{i=1}^{n}i^{2}=\tfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}, temos
A_{n} = \frac{8}{n^{3}}\;\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{4\,n(n+1)(2n+1)}{3\,n^{3}}.
Para obter a área exata, tomamos o limite quando n\to\infty:
A = \lim_{n\to\infty}A_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{4\,n(n+1)(2n+1)}{3\,n^{3}} = \frac{4\cdot1\cdot2}{3} = \frac{8}{3}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \frac{8}{3}.

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