Encontre o valor mínimo da região sob a curva y=x+\frac{1}{x} de x=a a x=a+1,5, para x>0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o valor mínimo, em função de a>0, da área sob a curva
y = x + \frac{1}{x}
no intervalo de x=a até x=a+1,5.
Ou seja, definimos a função área
A(a) \;=\; \int_{a}^{\,a+1,5}\Bigl(x + \tfrac{1}{x}\Bigr)\,dx
e queremos achar o valor mínimo de A(a) para a>0.

Passo 2

Calculemos A(a) explicitamente usando primitivas:
\int \Bigl(x + \tfrac{1}{x}\Bigr)\,dx =\int x\,dx \;+\;\int \tfrac{1}{x}\,dx =\frac{x^2}{2} + \ln(x).
Logo,
A(a) =\Bigl[\tfrac{x^2}{2}+\ln(x)\Bigr]_{x=a}^{x=a+1,5} =\frac{(a+1,5)^2 - a^2}{2} \;+\;\ln\!\bigl(\tfrac{a+1,5}{a}\bigr).
Expandindo,
\frac{(a+1,5)^2 - a^2}{2} =\frac{a^2+3a+2{,}25 - a^2}{2} =\frac{3a+2{,}25}{2} =\frac{3}{2}\,a + 1{,}125.
Portanto
A(a) =\frac{3}{2}\,a + 1{,}125 + \ln\!\bigl(1 + \tfrac{1{,}5}{a}\bigr).

Passo 3

Para achar o mínimo, derivamos A(a) em relação a a:
A'(a) =\frac{3}{2} +\frac{d}{da}\ln\!\bigl(1 + \tfrac{1{,}5}{a}\bigr).
Como
\frac{d}{da}\ln\!\bigl(1 + \tfrac{1{,}5}{a}\bigr) =\frac{1}{1 + 1{,}5/a}\,\bigl(-\tfrac{1{,}5}{a^2}\bigr) =-\frac{1{,}5}{a(a+1{,}5)},
temos
A'(a) =\frac{3}{2} -\frac{1{,}5}{a(a+1{,}5)}.
Para ponto crítico A'(a)=0:
\frac{3}{2} =\frac{1{,}5}{a(a+1{,}5)} \quad\Longrightarrow\quad a(a+1{,}5)=1.
Isso leva à equação quadrática
a^2 + 1{,}5\,a - 1 =0
cuja raiz positiva é
a = \frac{-1{,}5 + \sqrt{1{,}5^2 + 4}}{2} =\frac{-1{,}5 + 2{,}5}{2} =0{,}5.

Passo 4

Verificamos que este ponto é de mínimo, pois
A''(a) =\frac{d}{da}\Bigl(-\tfrac{1{,}5}{a(a+1{,}5)}\Bigr) >0 \quad\text{para }a>0.
Logo, a=0,5 dá o mínimo de A(a). Calculamos então
A_{\min} =A(0{,}5) =\frac{3}{2}\cdot 0{,}5 + 1{,}125 + \ln\!\bigl(1 + \tfrac{1{,}5}{0{,}5}\bigr) =0{,}75 + 1{,}125 + \ln(4) =1{,}875 + \ln(4).

Resposta

O valor mínimo da área é
1{,}875 + \ln(4).

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