Encontre o valor mínimo da região sob a curva
de
a
, para
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos o valor mínimo, em função de
, da área sob a curva
no intervalo de
até
.
Ou seja, definimos a função área
Ou seja, definimos a função área
e queremos achar o valor mínimo de
para
.
Passo 2
Calculemos
explicitamente usando primitivas:
Logo,
Expandindo,
Portanto
Passo 3
Para achar o mínimo, derivamos
em relação a
:
Como
temos
Para ponto crítico
:
Isso leva à equação quadrática
cuja raiz positiva é
Passo 4
Verificamos que este ponto é de mínimo, pois
Logo,
dá o mínimo de
. Calculamos então
Resposta
O valor mínimo da área é