Calcule
\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^{2}} d x
Dica: use x=\tan (y) e lembre que \sin \left(\frac{\pi}{2}-u\right)=\cos (u).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{1} \frac{\ln(1+x)}{1+x^{2}}\,dx.
O conteúdo aqui é técnica de integração por substituição trigonométrica e uso de simetria de integral. A dica sugere usar x=\tan(y) para eliminar o 1+x^2, e depois explorar a identidade \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}-u\bigr)=\cos(u), que nos levará a uma simetria em y.

Passo 2

Fazendo a substituição
x = \tan(y), \quad dx = \operatorname{sec}^2(y)\,dy,
os limites mudam de x=0 para y=0 e de x=1 para y=\tfrac{\pi}{4}. Observe que
1+x^2 = 1+\tan^2(y)=\operatorname{sec}^2(y),
então a integral vira
\int_{0}^{1} \frac{\ln(1+x)}{1+x^{2}}\,dx =\int_{0}^{\pi/4}\frac{\ln\bigl(1+\tan(y)\bigr)\,\operatorname{sec}^2(y)}{\operatorname{sec}^2(y)}\,dy =\int_{0}^{\pi/4}\ln\bigl(1+\tan(y)\bigr)\,dy.
Chamemos este valor de
I = \int_{0}^{\pi/4}\ln\bigl(1+\tan(y)\bigr)\,dy.

Passo 3

Para aproveitar uma simetria, fazemos a mudança de variável
y = \frac{\pi}{4}-u,
então dy=-du, e quando y vai de 0 a \tfrac{\pi}{4}, u vai de \tfrac{\pi}{4} a 0. Logo
I =\int_{0}^{\pi/4}\ln\bigl(1+\tan(y)\bigr)\,dy =\int_{\pi/4}^{0}\ln\Bigl(1+\tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}-u\bigr)\Bigr)(-du) =\int_{0}^{\pi/4}\ln\Bigl(1+\tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}-u\bigr)\Bigr)\,du.
Mas usamos a identidade
\tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}-u\bigr) =\frac{1-\tan(u)}{1+\tan(u)},
logo
1+\tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}-u\bigr) =\frac{(1+\tan(u))+(1-\tan(u))}{1+\tan(u)} =\frac{2}{1+\tan(u)}.
Assim
\ln\Bigl(1+\tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}-u\bigr)\Bigr) =\ln(2)-\ln\bigl(1+\tan(u)\bigr).
Portanto
I =\int_{0}^{\pi/4}\bigl[\ln(2)-\ln\bigl(1+\tan(u)\bigr)\bigr]\,du =\int_{0}^{\pi/4}\ln(2)\,du -\int_{0}^{\pi/4}\ln\bigl(1+\tan(u)\bigr)\,du.
Ou seja
I = \ln(2)\,\frac{\pi}{4} - I.

Passo 4

Da relação
I = \frac{\pi}{4}\ln(2) - I
temos
2I = \frac{\pi}{4}\ln(2) \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{\pi}{8}\ln(2).

Resposta

\boxed{\frac{\pi}{8}\ln(2)}.

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