Calcule o volume do sólido formado pela interseção das curvas g(x)=x^{2}, p(x)=x+1, x=0 e x=1 ao serem rotacionadas em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região do plano limitada por \;g(x)=x^{2},\;p(x)=x+1,\;x=0 e \;x=1.
O conteúdo que vamos usar é o método das cascas cilíndricas, onde cada fatia vertical gera uma casca de raio x e altura p(x)-g(x).

Passo 2

Pelo método das cascas, o volume é
V \;=\; 2\pi \int_{x=0}^{1} \bigl(\text{raio}\bigr)\,\bigl(\text{altura}\bigr)\,\mathrm{d}x \;=\; 2\pi \int_{0}^{1} x\bigl[p(x)-g(x)\bigr]\,\mathrm{d}x
onde
p(x)-g(x) \;=\;(x+1)-x^{2}\;=\;x+1-x^{2}.

Passo 3

Calculamos o integrando:
x\bigl(x+1-x^{2}\bigr) \;=\; x^{2}+x - x^{3}.
Então
\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}+x - x^{3}\bigr)\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4} = \frac{7}{12}.

Passo 4

Multiplicando pelo fator 2\pi, obtemos
V = 2\pi \times \frac{7}{12} = \frac{7\pi}{6}.

Resposta

\frac{7\pi}{6}

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