Utilizando a técnica de substituição trigonométrica, calcule as integrais a seguir.
\int \sqrt{6 x-x^{2}-5} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sqrt{6x - x^2 - 5}\,dx
usando substituição trigonométrica. O conteúdo é integração de uma raiz quadrática do tipo \sqrt{a^2 - (x - b)^2}.

Passo 2

Primeiro completamos o quadrado dentro da raiz. Note que
6x - x^2 - 5 = -\bigl(x^2 - 6x + 5\bigr) = -\bigl((x - 3)^2 - 4\bigr) = 4 - (x - 3)^2.
Então a integral vira
\int \sqrt{4 - (x - 3)^2}\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição trigonométrica clássica para \sqrt{a^2 - u^2}. Seja
u = x - 3,\quad a = 2,\quad u = 2\sin\theta.
Assim
x - 3 = 2\sin\theta,\quad dx = 2\cos\theta\,d\theta, \quad \sqrt{4 - (x - 3)^2} = \sqrt{4 - 4\sin^2\theta} = 2\cos\theta.

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
\int \sqrt{4 - (x - 3)^2}\,dx = \int \bigl(2\cos\theta\bigr)\bigl(2\cos\theta\,d\theta\bigr) = 4\int \cos^2\theta\,d\theta.
Usamos a identidade \cos^2\theta = \tfrac{1+\cos2\theta}{2}:
4\int \cos^2\theta\,d\theta = 4\int \frac{1+\cos2\theta}{2}\,d\theta = 2\int (1+\cos2\theta)\,d\theta = 2\theta + \int 2\cos2\theta\,d\theta = 2\theta + \sin2\theta + C.

Passo 5

Voltando para x:
\theta = \arcsin\!\bigl(\tfrac{x-3}{2}\bigr), \quad \sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2\cdot\frac{x-3}{2}\cdot\frac{\sqrt{4-(x-3)^2}}{2} = \frac{(x-3)\sqrt{4-(x-3)^2}}{2}.
Logo a primitiva é
2\arcsin\!\bigl(\tfrac{x-3}{2}\bigr) + \frac{(x-3)\sqrt{4-(x-3)^2}}{2} + C.

Resposta

\int \sqrt{6x - x^2 - 5}\,dx = \frac{x-3}{2}\,\sqrt{4-(x-3)^2} + 2\arcsin\!\bigl(\tfrac{x-3}{2}\bigr) + C.

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