Calcule as integrais de funções trigonométricas a seguir.
\int_{-\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{12}} \tan ^{7}(3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int_{-\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{12}} \tan^7(3x)\,\!dx.
O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas e vamos usar a propriedade de paridade em intervalos simétricos.

Passo 2

Definimos f(x)=\tan^7(3x). Como \tan é uma função ímpar, vale
\tan(3(-x))=-\tan(3x),
logo
f(-x)=\bigl(\tan(3(-x))\bigr)^7=-\tan^7(3x)=-f(x).
Portanto, f é ímpar.

Passo 3

Sabemos que, para qualquer função ímpar f e todo a>0,
\int_{-a}^{a}f(x)\,\!dx=0.
Aqui temos a=\tfrac{\pi}{12}, logo
\int_{-\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{12}}\tan^7(3x)\,\!dx=0.

Resposta

0

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