Utilizando a técnica de substituição trigonométrica, calcule as integrais a seguir.
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2 x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2x}}\,dx
usando substituição trigonométrica. Vamos completar o quadrado em x^{2}+2x e depois usar a substituição adequada para integrar.

Passo 2

Completar o quadrado no radicando. Observamos que
x^{2}+2x = x^{2} + 2x +1 -1 = (x+1)^{2} - 1.
Então a integral original fica
\int \frac{1}{\sqrt{(x+1)^{2}-1}}\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição trigonométrica
x+1 = \operatorname{sec}\theta,
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dx = \operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta \qquad\text{e}\qquad \sqrt{(x+1)^{2}-1} = \sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta -1} = \tan\theta.
Substituindo na integral, obtemos
\int \frac{\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta}{\tan\theta} = \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.

Passo 4

A integral de \operatorname{sec}\theta é clássica, sabendo que
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr| + C.

Passo 5

Voltar à variável x. Como \operatorname{sec}\theta = x+1 e \tan\theta = \sqrt{(x+1)^{2}-1} = \sqrt{x^{2}+2x}, temos
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2x}}\,dx = \ln\bigl|x+1 + \sqrt{x^{2}+2x}\bigr| + C.

Resposta

\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2x}}\,dx = \ln\bigl|x+1 + \sqrt{x^{2}+2x}\bigr| + C.

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