Considere a curva C descrita por
\vec{r}(t)=\left(3 t \sin t+3 \cos t, 3 t \cos t-3 \sin t, 2 t^{2}\right), \operatorname{com} t \in(0,2 \pi]
a) Mostre que esta curva está sobre o parabolóide 2 x^{2}+2 y^{2}=9 z+18.
b) Determine se esta curva é suave ou não, justificando sua resposta.
c) Calcule o comprimento desta curva.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\vec r(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)
com
x(t)=3t\sin t+3\cos t,\quad y(t)=3t\cos t-3\sin t,\quad z(t)=2t^2,
para t\in(0,2\pi].
a) Precisamos verificar que \bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) satisfaz a equação do parabolóide
2x^2+2y^2=9z+18.
b) Vamos checar se \vec r'(t) é contínua e nunca nula em (0,2\pi], o que garante suavidade.
c) Para o comprimento, calculamos
L=\int_{0}^{2\pi}\bigl\|\vec r'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Substituímos x(t) e y(t) em 2x^2+2y^2. Primeiro note que
x(t)=3\bigl(t\sin t+\cos t\bigr),\quad y(t)=3\bigl(t\cos t-\sin t\bigr),
logo
x^2+y^2 =9\bigl[(t\sin t+\cos t)^2+(t\cos t-\sin t)^2\bigr].
Expandindo e usando \sin^2t+\cos^2t=1 e que os termos mistos se cancelam, vem
x^2+y^2=9\bigl(t^2+1\bigr),
então
2x^2+2y^2=18(t^2+1).
Por outro lado,
9z+18=9\bigl(2t^2\bigr)+18=18t^2+18=18(t^2+1).
Logo
2x^2+2y^2=9z+18
para todo t, isto é, a curva está sobre o parabolóide.

Passo 3

Calculamos a derivada
\vec r'(t)=\bigl(x'(t),y'(t),z'(t)\bigr).
Derivando cada componente:
x'(t)=3t\cos t,\quad y'(t)=-3t\sin t,\quad z'(t)=4t.
Assim
\vec r'(t)=\bigl(3t\cos t,\,-3t\sin t,\,4t\bigr) =t\,(3\cos t,\,-3\sin t,\,4).
Como em (0,2\pi] temos t>0 e (3\cos t,-3\sin t,4)\neq(0,0,0), segue \vec r'(t)\neq\vec0 e é contínua. Portanto a curva é suave.

Passo 4

O comprimento é
L=\int_{0}^{2\pi}\bigl\|\vec r'(t)\bigr\|\,dt =\int_{0}^{2\pi}\sqrt{(3t\cos t)^2+(-3t\sin t)^2+(4t)^2}\,dt =\int_{0}^{2\pi}\sqrt{9t^2+16t^2}\,dt =\int_{0}^{2\pi}5t\,dt.
Calculando,
L=5\int_{0}^{2\pi}t\,dt =5\left[\frac{t^2}{2}\right]_{0}^{2\pi} =\frac{5}{2}(2\pi)^2 =10\pi^2.

Resposta

a) Substituindo em 2x^2+2y^2 e em 9z+18 obtém-se ambas iguais a 18(t^2+1), logo a curva está sobre o parabolóide.
b) \vec r'(t)=t(3\cos t,-3\sin t,4)\neq\vec0 para todo t\in(0,2\pi], então a curva é suave.
c) O comprimento é L=10\pi^2.

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