\vec{r}(t)=\left(3 t \sin t+3 \cos t, 3 t \cos t-3 \sin t, 2 t^{2}\right), \operatorname{com} t \in(0,2 \pi]
a) Mostre que esta curva está sobre o parabolóide 2 x^{2}+2 y^{2}=9 z+18.
b) Determine se esta curva é suave ou não, justificando sua resposta.
c) Calcule o comprimento desta curva.
a) Substituindo em 2x^2+2y^2 e em 9z+18 obtém-se ambas iguais a 18(t^2+1), logo a curva está sobre o parabolóide.
b) \vec r'(t)=t(3\cos t,-3\sin t,4)\neq\vec0 para todo t\in(0,2\pi], então a curva é suave.
c) O comprimento é L=10\pi^2.