Calcule as integrais definidas listadas abaixo.
\int_{0}^{\pi / 2} \frac{d x}{3+2 \cos x}. Resposta. \frac{\pi}{2 \sqrt{5}}. Sugestão. Use a identidade \cos x=\frac{1-\operatorname{tg}^{2} \frac{x}{2}}{1+\operatorname{tg}^{2} \frac{\pi}{2}}, \mathrm{fa} u=\operatorname{tg} \frac{x}{2}, \mathrm{e} \frac{x}{2}=\operatorname{arctg} u.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule
\int_{0}^{\pi/2}\frac{dx}{3+2\cos x}.
O conteúdo aqui é usar a substituição de Weierstrass, que diz que se a gente põe
u = \tan\frac{x}{2},
então aparece a identidade
\cos x = \frac{1-u^2}{1+u^2},
e também
dx = \frac{2\,du}{1+u^2}.

Passo 2

Vamos transformar os limites de integração. Quando x=0, u=\tan0=0.
Quando x=\pi/2, u=\tan(\pi/4)=1.

Passo 3

Substituindo \cos x e dx na integral, temos
\int_{0}^{\pi/2}\frac{dx}{3+2\cos x} =\int_{0}^{1}\frac{\displaystyle\frac{2\,du}{1+u^2}}{3+2\cdot\frac{1-u^2}{1+u^2}}.
No denominador faça
3+2\frac{1-u^2}{1+u^2} =\frac{3(1+u^2)+2(1-u^2)}{1+u^2} =\frac{5+u^2}{1+u^2}.
Então a integral vira
\int_{0}^{1}\frac{2\,du/(1+u^2)}{\bigl(5+u^2\bigr)/(1+u^2)} =\int_{0}^{1}\frac{2}{5+u^2}\,du.

Passo 4

Reconhecemos
\int\frac{du}{u^2+a^2} =\frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{a}\bigr),
aqui com a^2=5, ou seja a=\sqrt{5}. Logo
\int_{0}^{1}\frac{2}{5+u^2}\,du =2\int_{0}^{1}\frac{du}{u^2+(\sqrt{5})^2} =2\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}\Bigl[\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{\sqrt{5}}\bigr)\Bigr]_{0}^{1}.

Passo 5

Substituindo os limites u=1 e u=0, obtemos
\frac{2}{\sqrt{5}}\Bigl(\arctan\!\tfrac{1}{\sqrt{5}}-\arctan0\Bigr) =\frac{2}{\sqrt{5}}\arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{5}}\bigr).

Resposta

\boxed{\frac{2}{\sqrt{5}}\;\arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{5}}\bigr)}.

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