Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - O integrando é
. - Não há limites de integração (é uma primitiva indefinida).
Passo 2
Idéia de resolução (troca simples que facilita): observar que aparece
no denominador e
no numerador — isso sugere a substituição
Agora calcule a diferencial: derivando ambos os lados em relação a
,
Isolando
temos
Essa é a razão pela qual essa substituição é natural: o numerador transforma-se exatamente em
, simplificando a integral.
Passo 3
Aplicando a substituição na integral original:
Agora a integral é uma integral de uma potência de uma expressão linear em
, que é fácil de integrar com a regra da potência composta.
Passo 4
Lembrete da regra que vamos usar (fórmula de integração para potência composta):
Se com constante
, então
Se
No nosso caso
,
e
. Aplicando diretamente:
Portanto, voltando ao fator negativo que tínhamos,
Passo 5
Volte à variável
substituindo
:
Ou seja, a primitiva pode ser escrita como
Passo 6
Verificação rápida (derivação) para ganhar confiança: diferencie
Pela regra da cadeia,
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.