Calcule
\int \frac{\operatorname{sen} \theta}{(7-\cos \theta)^{3}} d \theta

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{\operatorname{sen}\theta}{(7-\cos\theta)^{3}}\,d\theta.
Informações dadas:
  • A variável de integração é \theta.
  • O integrando é \dfrac{\operatorname{sen}\theta}{(7-\cos\theta)^{3}}.
  • Não há limites de integração (é uma primitiva indefinida).

Passo 2

Idéia de resolução (troca simples que facilita): observar que aparece \cos\theta no denominador e \operatorname{sen}\theta\,d\theta no numerador — isso sugere a substituição
u=\cos\theta.
Agora calcule a diferencial: derivando ambos os lados em relação a \theta,
du = -\operatorname{sen}\theta\,d\theta.
Isolando \operatorname{sen}\theta\,d\theta temos
\operatorname{sen}\theta\,d\theta = -du.
Essa é a razão pela qual essa substituição é natural: o numerador transforma-se exatamente em -du, simplificando a integral.

Passo 3

Aplicando a substituição na integral original:
\int \frac{\operatorname{sen}\theta}{(7-\cos\theta)^{3}}\,d\theta = \int \frac{-du}{(7-u)^{3}} = -\int (7-u)^{-3}\,du.
Agora a integral é uma integral de uma potência de uma expressão linear em u, que é fácil de integrar com a regra da potência composta.

Passo 4

Lembrete da regra que vamos usar (fórmula de integração para potência composta):
Se w = a + b u com constante b\neq0, então
\int (a+bu)^{n}\,du = \frac{(a+bu)^{n+1}}{b(n+1)} + C\qquad(n\neq -1).
No nosso caso a=7, b=-1 e n=-3. Aplicando diretamente:
\int (7-u)^{-3}\,du = \frac{(7-u)^{-2}}{(-1)(-2)} + C = \frac{(7-u)^{-2}}{2} + C.
Portanto, voltando ao fator negativo que tínhamos,
-\int (7-u)^{-3}\,du = -\frac{(7-u)^{-2}}{2} + C.

Passo 5

Volte à variável \theta substituindo u=\cos\theta:
-\frac{(7-u)^{-2}}{2} + C = -\frac{1}{2}\,(7-\cos\theta)^{-2} + C.
Ou seja, a primitiva pode ser escrita como
-\frac{1}{2(7-\cos\theta)^{2}} + C.

Passo 6

Verificação rápida (derivação) para ganhar confiança: diferencie
F(\theta) = -\tfrac{1}{2}(7-\cos\theta)^{-2}.
Pela regra da cadeia,
F'(\theta) = -\tfrac{1}{2}\cdot(-2)(7-\cos\theta)^{-3}\cdot(\sin\theta) = \frac{\sin\theta}{(7-\cos\theta)^{3}},
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{2(7-\cos\theta)^{2}}+C

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