Calcule (usando o método de integração por partes)
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
O enunciado também indica usar o método de integração por partes. Vamos trabalhar com isso passo a passo.
Passo 2
Lembrete sobre integração por partes (a “fórmula” e o porquê). A fórmula é
onde
e
são funções de
,
é a diferencial de
e
é a diferencial que integra para
. A ideia é escolher
de forma que
seja mais simples que
, e escolher
para que
seja fácil de obter. Aqui a função
é naturalmente uma boa escolha para
(porque sua derivada simplifica), e escolhemos
para que
.
Passo 3
Fazendo as escolhas:
Calculamos
e
.
- Integrando
temos
- Agora derivar
. Usamos a regra da cadeia: a derivada de em relação a é . Aqui , então
Simplificamos a raiz:
Substituindo na derivada:
Portanto
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora restou calcular a integral
Passo 5
Para
usamos a substituição simples
Substituindo:
A primitiva de
é
, então
Voltando para
:
Passo 6
Voltando à expressão obtida pela integração por partes:
Isso simplifica para
Passo 7
Verificação rápida (bom hábito): derivando a resposta final deve-se recuperar o integrando.
Derivando pelo produto e cadeia, obtém-se
Derivando
confirmando que a primitiva está correta.