Calcule (usando o método de integração por partes)
\int \operatorname{arcsen}(x / 4) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \operatorname{arcsen}\!\left(\frac{x}{4}\right)\,dx.
O enunciado também indica usar o método de integração por partes. Vamos trabalhar com isso passo a passo.

Passo 2

Lembrete sobre integração por partes (a “fórmula” e o porquê). A fórmula é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e v são funções de x, du é a diferencial de u e dv é a diferencial que integra para v. A ideia é escolher u de forma que du seja mais simples que u, e escolher dv para que v seja fácil de obter. Aqui a função \operatorname{arcsen}(x/4) é naturalmente uma boa escolha para u (porque sua derivada simplifica), e escolhemos dv = dx para que v = x.

Passo 3

Fazendo as escolhas:
u = \operatorname{arcsen}\!\left(\frac{x}{4}\right),\qquad dv = dx.
Calculamos v e du.
  • Integrando dv temos
v=\int dv=\int dx = x.
  • Agora derivar u. Usamos a regra da cadeia: a derivada de \operatorname{arcsen}(t) em relação a t é \dfrac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}. Aqui t=\dfrac{x}{4}, então
\frac{d}{dx}\operatorname{arcsen}\!\left(\frac{x}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{1-(x/4)^{2}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{x^{2}}{16}}}\cdot\frac{1}{4}.
Simplificamos a raiz:
\sqrt{1-\dfrac{x^{2}}{16}} = \sqrt{\dfrac{16-x^{2}}{16}} = \frac{\sqrt{16-x^{2}}}{4}.
Substituindo na derivada:
\frac{d}{dx}\operatorname{arcsen}\!\left(\frac{x}{4}\right) = \frac{1}{4}\cdot\frac{4}{\sqrt{16-x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{16-x^{2}}}.
Portanto
du = \frac{dx}{\sqrt{16-x^{2}}}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int \operatorname{arcsen}\!\left(\frac{x}{4}\right)\,dx = u v - \int v\,du = x\operatorname{arcsen}\!\left(\frac{x}{4}\right) - \int x\cdot\frac{dx}{\sqrt{16-x^{2}}}.
Agora restou calcular a integral
\int \frac{x}{\sqrt{16-x^{2}}}\,dx.

Passo 5

Para \displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{16-x^{2}}}\,dx usamos a substituição simples
w = 16 - x^{2}\quad\Rightarrow\quad dw = -2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = -\frac{1}{2}\,dw.
Substituindo:
\int \frac{x}{\sqrt{16-x^{2}}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{w}}\left(-\frac{1}{2}\,dw\right) = -\frac{1}{2}\int w^{-1/2}\,dw.
A primitiva de w^{-1/2} é 2w^{1/2}, então
-\frac{1}{2}\int w^{-1/2}\,dw = -\frac{1}{2}\cdot 2 w^{1/2} = -w^{1/2}.
Voltando para x:
\int \frac{x}{\sqrt{16-x^{2}}}\,dx = -\sqrt{16-x^{2}} + C.

Passo 6

Voltando à expressão obtida pela integração por partes:
\int \operatorname{arcsen}\!\left(\frac{x}{4}\right)\,dx = x\operatorname{arcsen}\!\left(\frac{x}{4}\right) - \Bigl(-\sqrt{16-x^{2}}\Bigr) + C.
Isso simplifica para
\int \operatorname{arcsen}\!\left(\frac{x}{4}\right)\,dx = x\operatorname{arcsen}\!\left(\frac{x}{4}\right) + \sqrt{16-x^{2}} + C.

Passo 7

Verificação rápida (bom hábito): derivando a resposta final deve-se recuperar o integrando.
Derivando x\operatorname{arcsen}\!\left(\dfrac{x}{4}\right) + \sqrt{16-x^{2}} pelo produto e cadeia, obtém-se
\operatorname{arcsen}\!\left(\frac{x}{4}\right) + x\cdot\frac{1}{\sqrt{16-x^{2}}} - \frac{x}{\sqrt{16-x^{2}}} = \operatorname{arcsen}\!\left(\frac{x}{4}\right),
confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

x\operatorname{arcsen}\!\left(\frac{x}{4}\right) + \sqrt{16-x^{2}} + C

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