Calcule
\int\left(2 x^{3} \sqrt{x}+e^{2 x+3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\left(2 x^{3} \sqrt{x}+e^{2 x+3}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é a soma de duas parcelas: \;2 x^{3} \sqrt{x}\; e \;e^{2 x+3}\;.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (a integral indefinida), isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=2 x^{3} \sqrt{x}+e^{2 x+3}.
  • A resposta deve incluir a constante de integração C.

Passo 2

Primeira ação: simplificar a parte polinomial da integranda. Lembrando que \sqrt{x}=x^{1/2}, temos
2 x^{3} \sqrt{x} = 2 x^{3} x^{1/2} = 2 x^{7/2}.
Então a integral separa-se (linearidade da integral) em duas integrais:
\int\left(2 x^{3} \sqrt{x}+e^{2 x+3}\right)\,dx = \int 2 x^{7/2}\,dx + \int e^{2x+3}\,dx.

Passo 3

Agora integramos a primeira parcela \int 2 x^{7/2}\,dx. Usamos a regra da potência para integrais: para \;n\neq -1\;,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{7}{2}, logo n+1=\tfrac{9}{2}. Assim,
\int 2 x^{7/2}\,dx = 2\cdot\int x^{7/2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{9/2}}{9/2} + C = 2\cdot\frac{2}{9}x^{9/2} + C = \frac{4}{9}x^{9/2} + C.
Observação rápida sobre a operação: dividir por \tfrac{9}{2} é multiplicar por \tfrac{2}{9}, por isso 2\cdot \tfrac{2}{9}=\tfrac{4}{9}.

Passo 4

Agora integramos a segunda parcela \int e^{2x+3}\,dx. Há uma fórmula prática: para constantes a e b,
\int e^{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax+b} + C,
porque derivando \frac{1}{a}e^{ax+b} volta-se a e^{ax+b}. Vou mostrar por substituição para ficar claro: seja \;u=2x+3\;. Então \;du=2\,dx\; ou \;dx=\tfrac{1}{2}du\;. Substituindo,
\int e^{2x+3}\,dx = \int e^{u}\cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2} e^{u} + C = \frac{1}{2} e^{2x+3} + C.

Passo 5

Somando as primitivas das duas parcelas e agrupando a constante de integração em uma única C, obtemos a primitiva da integranda original:
F(x)=\frac{4}{9}x^{9/2}+\frac{1}{2}e^{2x+3}+C.

Passo 6

Verificação rápida (checar é sempre bom para ganhar confiança): derivando F(x),
F'(x)=\frac{4}{9}\cdot\frac{9}{2}x^{7/2} + \frac{1}{2}\cdot 2 e^{2x+3} = 2x^{7/2}+e^{2x+3}.
Lembrando que x^{7/2}=x^{3}x^{1/2}=x^{3}\sqrt{x}, obtemos exatamente 2x^{3}\sqrt{x}+e^{2x+3}, que é a integranda. Portanto F está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{9}x^{9/2}+\frac{1}{2}e^{2x+3}+C

Exercícios relacionados