Calcule \int \frac{2 x-5}{x^{2}-5 x+4} d x.
a) \ln |x-1|-\ln |x-4|+C
b) -\ln |x-1|-\ln |x-4|+C
c) \ln |x-1|+\ln |x-4|+C
d) -\ln |x-1|+\ln |x-4|+C

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
\int \frac{2x-5}{x^{2}-5x+4}\,dx
e o conteúdo principal para resolver é decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^{2}-5x+4 = (x-1)(x-4).

Passo 3

Propomos a decomposição
\frac{2x-5}{(x-1)(x-4)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-4}
e, multiplicando ambos os lados por (x-1)(x-4), obtemos
2x-5 = A(x-4) + B(x-1).

Passo 4

Igualamos coeficientes de x e termos constantes em
2x-5 = (A+B)\,x + (-4A - B),
o que gera o sistema
\begin{cases} A + B = 2,\\\\ -4A - B = -5. \end{cases}
Resolvendo, encontramos
A = 1,\quad B = 1.

Passo 5

Substituímos na integral:
\int \frac{2x-5}{x^{2}-5x+4}\,dx = \int\!\Bigl(\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-4}\Bigr)\,dx = \ln|x-1| + \ln|x-4| + C.

Resposta

(c) \ln |x-1| + \ln |x-4| + C

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