\int_{1}^{3}\left(1+2 x-4 x^{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{1}^{3}\left(1+2x-4x^{3}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • Os limites de integração são 1 (inferior) e 3 (superior).
  • A função integranda é um polinômio: 1+2x-4x^{3}.
  • A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Vamos usar a propriedade de linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Escrevendo isso,
\int_{1}^{3}\left(1+2x-4x^{3}\right)\,dx = \int_{1}^{3}1\,dx+\int_{1}^{3}2x\,dx-\int_{1}^{3}4x^{3}\,dx.
Explicando a ideia: separar em três integrais mais simples facilita, porque cada uma tem uma antiderivada conhecida (regra do poder).

Passo 3

Apresento a regra do poder (fundamental aqui): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Além disso, se a é constante então
\int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx.
Agora aplico isso termo a termo.

Passo 4

Calcular as antiderivadas de cada termo:
  • Para \int 1\,dx: pense em 1=x^{0}. Pela regra do poder,
\int 1\,dx=\int x^{0}\,dx=\frac{x^{0+1}}{0+1}=x.
  • Para \int 2x\,dx: fatoramos 2 e usamos a regra do poder com n=1,
\int 2x\,dx=2\int x\,dx=2\cdot\frac{x^{2}}{2}=x^{2}.
(Observe que o 2 cancela.)
  • Para \int 4x^{3}\,dx: fatoramos 4 e usamos n=3,
\int 4x^{3}\,dx=4\int x^{3}\,dx=4\cdot\frac{x^{4}}{4}=x^{4}.
Como o termo original é -4x^{3}, a antiderivada corresponde a -x^{4}.
Portanto uma antiderivada F(x) do integrando é
F(x)=x+x^{2}-x^{4}.
(A constante de integração não importa para integral definida.)

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: avalia-se F(x) nos limites e faz-se F(3)-F(1).
Calcule F(3):
F(3)=3+3^{2}-3^{4}=3+9-81=12-81=-69.
Calcule F(1):
F(1)=1+1^{2}-1^{4}=1+1-1=1.

Passo 6

Subtrair os valores:
\int_{1}^{3}\left(1+2x-4x^{3}\right)\,dx=F(3)-F(1)=-69-1=-70.
Como checagem rápida, derivando F(x) obtém-se F'(x)=1+2x-4x^{3}, que é o integrando — sinal de que a antiderivada está correta.

Resposta

-70

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