\int_{1}^{3}\left(1+2 x-4 x^{3}\right) d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
- Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - A função integranda é um polinômio:
. - A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Vamos usar a propriedade de linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Escrevendo isso,
Explicando a ideia: separar em três integrais mais simples facilita, porque cada uma tem uma antiderivada conhecida (regra do poder).
Passo 3
Apresento a regra do poder (fundamental aqui): para
,
onde
é a constante de integração. Além disso, se
é constante então
Agora aplico isso termo a termo.
Passo 4
Calcular as antiderivadas de cada termo:
- Para
: pense em . Pela regra do poder,
- Para
: fatoramos e usamos a regra do poder com ,
(Observe que o
cancela.)
- Para
: fatoramos e usamos ,
Como o termo original é
, a antiderivada corresponde a
.
Portanto uma antiderivada
do integrando é
(A constante de integração não importa para integral definida.)
Passo 5
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: avalia-se
nos limites e faz-se
.
Calcule
:
Calcule
:
Passo 6
Subtrair os valores:
Como checagem rápida, derivando
obtém-se
, que é o integrando — sinal de que a antiderivada está correta.