Calcule:
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(3+\cos 3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\bigl(3+\cos 3x\bigr)\,dx.
O conteúdo envolve a linearidade da integral e o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a antiderivada nos limites.

Passo 2

Usamos a propriedade de linearidade:
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\bigl(3+\cos 3x\bigr)\,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}3\,dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\cos 3x\,dx.

Passo 3

Encontramos antiderivadas:
\displaystyle \int 3\,dx = 3x
e
\displaystyle \int \cos 3x\,dx = \frac{1}{3}\sin 3x.
Portanto, uma primitiva de 3+\cos3x é
F(x)=3x+\frac{1}{3}\sin 3x.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\bigl(3+\cos 3x\bigr)\,dx = F\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr)-F(0) = \Bigl(3\cdot\tfrac{\pi}{3}+\tfrac{1}{3}\sin\pi\Bigr) - \Bigl(0+\tfrac{1}{3}\sin0\Bigr) = \pi+0 =\pi.

Resposta

\pi

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