Calcule:
\int_{0}^{1} \sin 5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de \sin(5x) no intervalo de 0 a 1. O conteúdo aqui é encontrar a antiderivada de seno e, em seguida, usar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Sabemos que, de modo geral,
\int \sin(a x)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(a x) + C.
No nosso caso, a=5, então uma primitiva de \sin(5x) é
F(x) = -\frac{1}{5}\cos(5x).

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{1}\sin(5x)\,dx = F(1) - F(0).

Passo 4

Calculando os valores:
F(1) = -\frac{1}{5}\cos(5), \quad F(0) = -\frac{1}{5}\cos(0) = -\frac{1}{5}\cdot 1 = -\frac{1}{5}.
Portanto,
\int_{0}^{1}\sin(5x)\,dx = \Bigl(-\tfrac{1}{5}\cos(5)\Bigr) - \Bigl(-\tfrac{1}{5}\Bigr) = \frac{1}{5} - \frac{1}{5}\cos(5) = \frac{1 - \cos(5)}{5}.

Resposta

\int_{0}^{1}\sin(5x)\,dx = \frac{1 - \cos(5)}{5}.

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