(2) Calcule:
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos ^{3}(y) d y

Passo 1

O enunciado dá a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos^{3}(y)\,dy
e pede que se calcule o valor numérico dessa integral. As informações relevantes são:
  • o integrando é \cos^{3}(y);
  • o intervalo de integração é de y=0 até y=\dfrac{\pi}{6}.

Passo 2

Reescrever o integrando de forma a facilitar a substituição. Note que
\cos^{3}(y)=\cos(y)\bigl(1-\sin^{2}(y)\bigr).
Isto é útil porque tem um fator \cos(y) multiplicando uma função de \sin(y). Quando aparece esse padrão, uma substituição comum é definir u=\sin(y), porque a derivada de \sin(y) é \cos(y).

Passo 3

Fazer a substituição u=\sin(y). Então du=\cos(y)\,dy. Também trocar os limites de integração:
  • quando y=0, tem-se u=\sin(0)=0;
  • quando y=\dfrac{\pi}{6}, tem-se u=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}.
Com isso a integral passa a ser
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos(y)\bigl(1-\sin^{2}(y)\bigr)\,dy = \int_{u=0}^{u=\frac{1}{2}} (1-u^{2})\,du.

Passo 4

Calcular a primitiva de 1-u^{2}. As regras básicas de integração são:
  • a primitiva de 1 em u é u;
  • a primitiva de u^{2} é \dfrac{u^{3}}{3}.
Logo uma primitiva de 1-u^{2} é
u-\frac{u^{3}}{3}.
Avaliar esta primitiva nos limites 0 e \dfrac{1}{2}:
\left.u-\frac{u^{3}}{3}\right|_{0}^{\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{2}-\frac{(1/2)^{3}}{3}\right) - \left(0-\frac{0^{3}}{3}\right).

Passo 5

Fazer as contas com cuidado:
(1/2)^{3}=\frac{1}{8}, \qquad \frac{(1/2)^{3}}{3}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{24}.
Portanto
\frac{1}{2}-\frac{1}{24}=\frac{12}{24}-\frac{1}{24}=\frac{11}{24}.

Resposta

\dfrac{11}{24}

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